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數學歸納法體現了什麼數學思想

發布時間:2023-08-31 16:16:11

『壹』 數學歸納法是什麼

數學歸納法就是一種證明方式。

通過過歸納,可以使雜亂無章的數學條理化,使大量的數學系統化。歸納是在比較的基礎上進行的。通過比較,找出數學間的相同點和差異點,然後把具有相同點的數學歸為同一類,把具有差異點的數學分成不同的類。最終達到數學上的證明。

(1)數學歸納法體現了什麼數學思想擴展閱讀:

數學歸納法原理可以由下面的良序性質(最小自然數原理)公理可以推出:

自然數集是良序的。(每個非空的正整數集合都有一個最小的元素);比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個正整數集合中有最小的數——1。

下面我們將通過這個性質來證明數學歸納法:

對於一個已經完成上述兩步證明的數學命題,我們假設它並不是對於所有的正整數都成立。

對於那備型些不成立的數所構成的集合S,其中必定有一個最小的元素k。(1是不屬於集合S,所以k>1)

k已經是集合S中的最小元素了,所以k-1是不屬於S,這意味著k-1對於命題而言是成立的——既然對於k-1成立,那麼也對手仔k也應該成立,這與畢滾汪我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠對所有n都成立。

『貳』 西師版小學數學教材蘊含的數學思想方法梳理

(1)符號思想
用符號化的語言(包括字母、數字、圖形和各種特定的符號)來描述數學的內容,這就是符號思想。符號思想是將所有的數據實例集為一體,把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來,便於記憶,便於運用。把客觀存在的事物和現象及它們相互之間的關系抽象概括為數學符號和公式,有一個從具體到表象再抽象符號化的過程。用符號來體現的數學語言是世界性語言,是一個人數學素養的綜合反映。
⑵ 化歸思想
化歸思想是數學中最普遍使用的一種思想方法,其基本思想是:把甲問題的求解,化歸為乙問題的求解,然後通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。一般是指不可逆向的「變換」。它的基本形式有:化難為易,化生為熟,化繁為簡,化整為零,化曲為直等。如求組合圖形的面積時先把組合圖形割補成學過的簡單圖形,然後計算出各部分面積的和或差,均能使學生體會化歸法的本質。
⑶ 分解思想
分解思想就是先把原問題分解為若干便於解決的子問題,分解出若干便於求解的范圍,分解出若干便於層層推進的解題步驟,然後逐個加以解決並達到最後順利解決原問題的目的的一種思想方法。如在五年級《解決問題的策略》教學中「倒退著想」的解題策略就體現了這種思想。
⑷ 轉換思想
轉換思想是一種解決數學問題的重要策略,是由一種形式變換成另一種形式的思想方法,這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數學問題時,轉換是一種非常有用的策略。 對問題進行轉換時,既可轉換已知條件,也可轉換問題的結論;轉換可以是等價的,也可以是不等價的,用轉換思想來解決數學問題,轉換僅是第一步,第二步要對轉換後的問題進行求解,第三步要將轉換後問題的解答反演成問題的解答。如果採用等價關系作轉換,可直接求出解而省略反演這一步。
⑸ 分類思想
分類思想方法不是數學獨有的方法,數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標准。如自然數的分類,若按能否被2整除分奇數和偶數;按因數的個數分素數和合數。又如三角形可以按邊分,也可以按角分。不同的分類標准就會有不同的分類結果,從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理的分類取決於分類標準的正確、合理性,數學知識的分類有助於學生對知識的梳理和建構
⑹ 歸納思想
數學歸納法是一種數學證明方法,典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式,這就是著名的結構歸納法
⑺ 類比思想
數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性,有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想,它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。類比思想不僅使數學知識容易理解,而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔,從而可以激發起學生的創造力。
⑻ 假設思想
假設思想是一種常用的推測性的數學思考方法利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應用題。有些題目數量關系比較隱蔽,難以建立數量之間的聯系,或數量關系抽象,無從下手。可先對題目中的已知條件或問題作出某種假設,然後按照題中的已知條件進行推算,根據數量出現的矛盾,最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維,掌握之後可以使得要解決的問題更形象、具體,從而豐富解題思路。
⑼ 比較思想
人類對一切事物的認識,都是建築在比較的基礎上,或同中辨異,或異中求同。俄國教育家烏申斯基說過:「比較是一切理解和一切思維的基礎。」小學生學習數學知識,也同樣需要通過對數學材料的比較,理解新知的本質意義,掌握知識間的聯系和區別。
在教學分數應用題中,教師要善於引導學生比較題中已知和未知數量變化前後的情況,可以幫助學生較快地找到解題的途徑。
⑽ 極限思想
事物是從量變到質變,極限方法的實質正是通過量變的無限過程達到質變。現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透。
⑾ 演繹思想
演繹也是理智的活動,但是和直觀不同,它們不是理智的單純活動,必須先假定了某些真理(或定義)之後,然後再憑借這些定義推出一些結論。
⑿ 模型思想
是指對於現實世界的某一特定對象,從它特定的生活原型出發,充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程,得到簡化和假設,它是生活中實際問題轉化為數學問題模型的一種思想方法。
培養學生用數學的眼光認識和處理周圍事物或數學問題乃數學的最高境界,也是學生高數學素養所追求的目標。
⒀ 對應思想
對應指的是一個系統中的某一項在性質、作用、位置上跟另一系統中的某一項相當。對應思想可理解為兩個集合元素之間的聯系的一種思想方法。在小學數學教學中滲透對應思想,有助於提高學生分析問題和解決問題的能力。
⒁ 集合思想
把若干確定的有區別的(不論是具體的或抽象的)事物合並起來,看作一個整體,就稱為一個集合,其中各事物稱為該集合的元素。通俗地說就是:把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體,就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合。
⒂ 數形結合思想
就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系,既分析其代數含義又揭示其幾何意義,使問題的數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。
⒃ 統計思想
在小學數學中增加統計與概率課程的意義在於形成合理解讀數據的能力、提高科學認識客觀世界的能力、發展在現實情境中解決實際問題的能力。
⒄ 系統思想
系統思想是由若干想到關聯、想到作用的要素(或成分)構成具有特定功能的有機整體。系統思想的方法便是要求人們從系統要素相互關系的觀點,從系統與要素之間、要素與要素之間,以及系統與外部環境之間的相互關聯和相互作用中考察對象,以得出研究和解決問題的最佳方案。

『叄』 常見的數學思想方法

在數學的學習過程中,有哪些常見的思想方法呢?下面是我網路整理的常見的數學思想方法以供大家學習。

常見的數學思想方法:分類與整合

解題時,我們常常遇到這樣一種情況,解到某一步之後,不能再以統一方法,統一的式子繼續進行了,因為這時被研究的問題包含了多種情況,這就必須在條件所給出的總區域內,正確劃分若干個子區域,然後分別在各個子區域內進行解題,當分類解決完這個問題後,還必須把它們總合在一起,因為我們研究的畢竟是這個問題的全體,這就是分類與整合的思想。有分有合,先分後合,不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程,也是這種思想方法的本質屬性。

高考將分類與整合的思想放在比較重要的位置,並以解答題為主進行考查,考查時要求考生理解什麼樣的問題需要分類研究,為什麼要分類,如何分類以及分類後如何研究與最後如何整合。特別注意引起分類的原因,我們必須相當熟悉,有些概念就是分類定義的,如絕對值的概念、整數分為奇數偶數等,有些運演算法則和公式是分類給出的,例如等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況,對數函數的單調性就分為a>1,0

高考對分類與整合的思想的考查往往集中在含有參數的解析式,包括函數問題,數列問題和解析幾何問題等。此外,排列組合的問題,概率統計的問題也考查分類與整合的思想。隨著新課程高考在全國的實施,在新增內容中考查分類與整合的思想,竊以為,是今後幾年高考命題的重點之一。

常見的數學思想方法:函數與方程

著名數學家克萊因說“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變數和函數來思考”。一個學生僅僅學習了函數的知識,他在解決問題時往往是被動的,而建立了函數思想,才能主動地去思考一些問題。

函數是高中代數內容的主幹,函數思想貫穿於高中代數的全部內容,函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉,是從函數各部分內容的內在聯系和整體角度來考慮問題,研究問題和解決問題。

所謂方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系,通過設未知數、列方程或方程組,解方程或方程組等步驟,達到求值目的解題思路和策略,它是解決各類計算問題的基本思想,是運算能力的基礎。

函數和方程、不等式是通過函數值等於零、大於零或小於零而相互關聯的,它們之間既有區別又有聯系。函數與方程的思想,既是函數思想與方程思想的體現,也是兩種思想綜合運用的體現,是研究變數與函數、相等與不等過程中的基本數學思想。

高考把函數與方程的思想作為七種思想方法的重點來考查,使用選擇題和填空題考查函數與方程的思想的基本運用,而在解答題中,則從更深的層次,在知識網路的交匯處,從思想方法與相關能力的關系角度進行綜合考查。

在解題時,要學會思考這些問題:(1)是不是需要把字母看作變數?(2)是不是需要把代數式看作函數?如果是函數它具有哪些性質?(3)是不是需要構造一個函數把表面上不是函數的問題化歸為函數問題?(4)能否把一個等式轉化為一個方程?對這個方程的根有什麼要求?……

常見的數學思想方法:特殊與一般

由特殊到一般,由一般到特殊,是人們認識世界的基本方法之一。數學研究也不例外,由特殊到一般,由一般到特殊的研究數學問題的基本認識過程,就是數學研究中的特殊與一般的思想。

我們對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始,通過總結歸納得出來的,證明後,又使用它們來解決相關的數學問題。在數學中經常使用的歸納法,演繹法就是特殊與一般的思想的集中體現。分析歷年的高考試題,考查特殊與一般的思想的題比比皆是,有的考查利用一般歸納法進行猜想,有的通過構造特殊函數、特殊數列,尋找特殊點,確定特殊位置,利用特殊值、特殊方程等,研究解決一般問題、抽象問題、運動變化的問題等。隨著新教材的全面推廣,高考以新增內容為素材,突出考查特殊與一般的思想必然成為今後命題改革的方向。

常見的數學思想方法:有限與無限

有限與無限並不是一新東西,雖然我們開始學習的數學都是有限的教學,但其中也包含有無限的成分,只不過沒有進行深入的研究。在學習有關數及其運算的過程中,對自然數、整數、有理數、實數、復數的學習都是有限個數的運算,但實際上各數集內元素的個數都是無限的。在解析幾何中,還學習過拋物線的漸近線,已經開始有極限的思想體現在其中。數列的極限和函數的極限集中體現了有限與無限的思想。使用極限的思想解決數學問題,比較明顯的是立體幾何中求球的體積和表面積,採用無限分割的方法來解決,實際上是先進行有限次分割,然後再求和求極限,這是典型的有限與無限的思想的應用。

函數是對運動變化的動態事物的描述,體現了變數數學在研究客觀事物中的重要作用。導數是對事物變化快慢的一種描述,並由此可進一步處理和解決函數的增減、極大、極小、最大、最小等實際問題,是研究客觀事物變化率和最優化問題的有力工具。

高考中對有限與無限的思想的考查才剛剛起步並且往往是在考查其他數學思想和方法的過程中同時考查有限與無限思想。例如,在使用由特殊到一般的歸納思維時,含有有限與無限的思想;在使用數學歸納法證明時,解決的是無限的問題,體現的是有限與無限的思想,等等。隨著對新增內容的考查的逐步深入,必將加強對有限與無限的思想的考查,設計出突出體現出有限與無限的思想的新穎試題。

常見的數學思想方法:或然與必然

隨機現象有兩個最基本的特徵,一是結果的隨機性,即重復同樣的試驗,所得到的結果並不相同,以至於在試驗之前不能預料試驗的結果;二是頻率的穩定性,即在大量重復試驗中,每個試驗結果發生的頻率“穩定”在一個常數附近。了解一個隨機現象就要知道這個隨機現象中所有可能出現的結果,知道每個結果出現的概率,知道這兩點就說對這個隨機現象研究清楚了。概率研究的是隨機現象,研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”,然後再用“必然”的規律去解決“偶然”的問題,這其中所體現的數學思想就是或然與必然的思想。

隨著新教材的推廣,高考中對概率內容的考查已放在了重要的位置。通過對等可能性事件的概率,互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、n次獨立重復試驗恰相好有k次發生的概率、隨機事件的分布列與數學期望等重點內容的考查,考查基本概念和基本方法,考查在解決實際應用問題中或然與必然的辯證關系。

概率問題,無論屬於哪一種類型,所研究的都是隨機事件中“或然”與“必然”的辯證關系,在“或然”中尋找“必然”的規律。

常見的數學思想方法:化歸與轉化

將未知解法或難以解決的問題,通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程,選擇運用恰當的數學方法進行變換,化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想叫做化歸與轉化的思想。化歸與轉化思想的實質是揭示聯系,實現轉化。

除極簡單的數學問題外,每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講,解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想,解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是,如未知向已知轉達化,復雜問題向簡單問題轉化,新知識向舊知識的轉化,命題之間的轉化,數與形的轉化,空間向平面的轉化,高維向低維轉化,多元向一元轉化,函數與方程的轉化等,都是轉化思想的體現。(轉化與化歸的思想方法是數學中最基本的思想方法。數學中的一切問題的解決都離不開轉化與化歸,數形結合思想體現了數與形的相互轉化;函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化;分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化,以上三種思想方法都是轉化與化歸思想的具體體現。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數法、構造法等都是轉化的手段。所以說,轉化與化歸是數學思想方法的靈魂。)

轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化前後是充要條件,所以盡可能使轉化具有等價性;在不得已的情況下,進行不等價轉化,應附加限制條件,以保持等價性,或對所得結論進行必要的驗證。

熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是騍轉化的基礎;豐富的聯想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁;培養訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉,要積極主動有意識地去發現事物之間的本質聯系。有人認為“抓基礎,重轉化”是學好中學數學的金鑰匙,說的也不無道理。

常見的數學思想方法:數形結合

數學研究的對象是數量關系和空間形式,即“數”與“形”兩個方面。“數”與“形”兩者之間並不是孤立的,而是有著密切的聯系。數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究,反之,圖形性質的研究可以轉化為數量關系的研究,這種解決數學問題過程中“數”與“形”相互轉化的研究策略,即是數形結合的思想。

數形結合的思想,在數學的幾乎全部的知識中,處處以數學對象的直觀表象及深刻精確的數量表達這兩方面給人以啟迪,為問題的解決提供簡捷明快的途徑。它的運用,往往展現出“柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。華羅庚先生曾作過精闢的論述:“數與開形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺,形少數時難人微,數形結合百般好,隔裂分家萬事非。切莫忘,幾何代數統一體,永遠聯系切莫離。”

數形結合既是一個重要的數學思想,也是一種常用的解題策略。一方面,許多數量關系的抽象概念和解析式,若賦予幾何意義,往往變得非常直觀形象;另一方面,一些圖形的屬性又可通過數量關系的研究,使得圖形的性質更豐富、更精準、更深刻。這種“數”與“形”的相互轉換,相互滲透,不僅可以使一些題目的解決簡捷明快,同時還可大大開拓我們的解題思路。可以這樣說,數形結合不僅是探求思路的“慧眼”,而且是深化思維的有力“杠桿”。

由“形”到“數”的轉化,往往比較明顯,而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識。因此,數形結合的思想的使用往往偏重於由“數”到“形”的轉化。

在高考中,選擇題和填空題這兩種題型的特點(只需寫出結果而無需寫出過程),為考查數形結合的思想提供了方便,能突出考查考生將復雜的數量關系問題轉化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識。而在解答題中,考慮到推理論證的嚴謹性,對數量關系問題的研究仍突出代數的方法而不是提倡使用幾何的方法,解答題中對數形結合的思想的考查以由“數”到“形”的轉化為主。

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