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畢達哥拉斯對數學的貢獻有哪些

發布時間:2022-11-30 12:24:26

㈠ 畢達哥拉斯學派在數學上的主要貢獻有哪些

畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本原,事物的性質是由某種數量關系決定的,萬物按照一定的數量比例而構成和諧的秩序;由此他們提出了「美是和諧」的觀點,認為音樂的和諧是由高低長短輕重不同的音調按照一定的數量上的比例組成,「音樂是對立因素的和諧的統一,把雜多導致統一,把不協調導致協調。」這是古希臘藝術辯證法思想的萌芽,也包含著藝術中「寓整齊於變化」的普遍原則。

畢達哥拉斯學派認為天體的運行秩序也是一種和諧,各個星球保持著和諧的距離,沿著各自的軌道,以嚴格固定的速度運行,產生各種和諧的音調和旋律,即所謂「諸天音樂」或「天體音樂」。

畢達哥拉斯學派還認為,外在的藝術的和諧同人的靈魂的內在和諧相合,產生所謂「同聲相應」,認為音樂大致有剛柔兩種風格,對人的性格和情感產生陶冶和改變,強調音樂的「凈化」作用。畢達哥拉斯學派偏重於美的形式的研究,認為一切平面圖形中最美的是圓形,一切立體圓形中最美的是球形。據說畢達哥拉斯學派最早發現了所謂「黃金分割」規律,而獲得關於比例的形式美的規律。畢達哥拉斯學派的美學觀點是客觀唯心主義的,對柏拉圖、新柏拉圖主義及文藝復興時期的藝術家產生了深遠影響。

畢達哥拉斯學派的成員都是貴族,他們反對撒摩斯島的古希臘民主制。領頭人畢達哥拉斯生於撒摩斯島。畢達哥拉斯年輕時期,游歷了很多地方,特別是游訪古埃及和古巴倫等地,學習了一些數學知識,大約在公元前530年回國,開始創建學派。

畢達哥拉斯學派的主張和觀念曾引起撒摩斯公民的不滿,畢達哥拉斯為了避開人們的輿論,只好離開自己出生的本土,逃往希臘的移民區阿佩寧半島,並定居在克羅托那城,重新建立學派。由於比達哥拉斯參與政治活動,後來被殺害。他的門徒散居到希臘其他學術中心,繼續傳授他的教誨達200年之久。

畢達哥拉斯學派把數看作是真實物質對象的終極組成部分。數不能離開感覺到的對象而獨立存在,他們認為數是宇宙的要素。所以,他們很注意研究數,也就開始研究數的理論,研究數的性質,而注重實際的計算。他們還依據幾何和哲學的神秘性來對「數」進行分類,按照幾何圖形分類,可分成「三角形數」、「正方形數」、「長方形數」、「五角形數」等等。

畢達哥拉斯發現了著名的「勾股定理」,據說,畢達哥拉斯為了慶賀自己的業績,殺了一百頭牛。

畢達哥拉斯學派的算術與幾何學有著密切聯系。他的根據是堆成各種形狀的一堆堆的鵝卵石或石頭,這樣他們就用圖形來表達數————三角形數,正方形數等。起始n個自然數的和,即1/2n(n+1),形成一個三角形數,起始n個奇數的和,即1+3+5+……+(2n-1),形成一個正方形數。但是人們發現,這和畢達格拉斯學派的另一發現有著嚴重的抵觸,那就是正方形的對角線與其一邊的比不能表示為兩個整數之比,因此無法再主張所有的量都有一個共同的度量。某些線和其它線不能通約的問題不僅對畢達哥拉斯學派形成了一個嚴重的絆腳石,而且,後來歷史證明,他在整個希臘幾何學史也是一塊絆腳石。由於人們試圖尋找一種不使算術完全脫離幾何學的解決辦法,這就導致一種新型數的引進,那就是無理數。也正是由於無理數的引入,引發了第一次數學危機。

畢達哥拉斯學派在對數學的發現中,不斷追求「美」的形式。他們認為日、月五星都是球形,浮懸在太空中,這是最完美的立體,而圓是最完美的平面圖。就是曾被譽為「巧妙的比例」,並染上各種各樣瑰麗詭秘色彩的「黃金分割」也是這個學派首先認識到的。

㈡ 畢達哥拉斯學派的數學成果有哪些

畢達哥拉斯學派的數學成就

四、畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯本人以發現畢達哥拉斯定理著稱於世.這個定理早已為巴比倫人所知(在中國古代大約是公元前2到1世紀成書的數學著作《周髀算經》中,假託商高同周公有這樣一段對話.商高說:「…故折矩,勾廣三,股修四,經隅五.」商高這段話的意思就是說:當直角三角形的兩條直角邊分別為3(短邊)和4(長邊)時,徑隅(就是弦)則為5.以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」.這就是中國著名的勾股定理.)不過在西方,最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯.他是用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等於兩直角邊平方之和,即畢達哥拉斯定理(勾股定理).

任何一個學過代數或幾何的人,都知道畢達哥拉斯定理.這一著名的定理,在許多數學分支、建築以及測量等方面,有著廣泛的應用.古埃及人利用這個定理來構造直角.他們把繩子按3,4和5個單位間隔打結,然後把三段繩子拉直形成一個三角形.他們知道所得三角形的最大邊所對的角總是一個直角.

畢達哥拉斯定理:給定一個直角三角形,則該直角三角形斜邊的平方等於同一直角三角形兩直角邊平方的和.反過來也是對的;如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方,則該三角形為直角三角形(畢達哥拉斯定理的逆命題)

五、數論

畢達哥拉斯在數論方面做了許多的研究,將自然數區分為奇數、偶數、素數、完全數、平方數、三角數和五角數等.

在畢達哥拉斯學派看來,數為宇宙提供了一個概念模型,數量和形狀決定一切自然物體的形式,數不但有量的多寡,而且也具有一定的幾何形狀.在這個意義上,他們把數理解為自然物體的形式和形象,是一切事物的總根源.因為有了數,才有了幾何學上的點,有了點才有線、面和立體,有了立體才有火、氣、水、土這四種元素,從而構成萬物,所以數在物之先.自然界的一切現象和規律都是由數決定的,都必須服從「數的和諧」,即服從數的關系.

畢達哥拉斯還通過說明數和物理現象間的聯系,來進一步證明自己的理論.他曾證明用三條弦發出某一個樂音,以及它的第五度音和第八度音時,這三條弦的長度之比為6:4:3.

畢達哥拉斯學派也深入地研究了整數的變化規律.例如,把(除其本身以外)全部因數之和等於本身的數,稱為完全數(如6,28,496等),而將本身小於其因數之和的數稱為盈數;將大於其因數之和的數稱為虧數.
他們還注意到整數48
可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除,這8個數都是48的因子,這些因子的和是75;奇妙的是75的因子有3、5、15、25,而它們的和又恰好是48.48與75這一對數叫做「半親和數」.他們還算出140與195也是一對半親和數.考慮到1是每個整數的因子,把除去整數本身之外的所有因子叫做這個數的「真因子」.如果兩個整數,其中每一個數的真因子的和都恰好等於另一個數,那麼這兩個數,就構成一對「親和數」.

220
與284
是畢達哥拉斯學派發現的一對親和數,同時也是最小的一對親和數.因為220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110,而它們的和是284.284的真因子是1、2、4、71、142,其和恰好是220.有人曾經把親和數用於魔術、法術、占星學和占卦上,使它帶有迷信和神秘的色彩,如認為若兩個人都佩帶上分別寫著這兩個數的護符,就一定會保持良好的友誼,這當然是非常滑稽可笑的.

六、幾何學

在幾何學方面,畢達哥拉斯學派證明了「三角形內角之和等於兩個直角」的論斷;研究了黃金分割;發現了正五角形和相似多邊形的作法;還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.當然,還有一個重要貢獻——畢達哥拉斯定理.

誠然,畢達哥拉斯及其學派的科學探索在某種程度上給後來的自然哲學以及科學的發展帶來了一些消極影響.但是,這些失誤,並不能掩蓋畢達哥拉斯及其學派在自然科學形成和發展過程中起到的積極作用.

㈢ 畢達哥拉斯的數學成就是什麼

無論是解說外在物質世界,還是描寫內在精神世界,都不能沒有數學!最早悟出萬事萬物背後都有數的法則在起作用的,是生活在2500年前的古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯(公元前572—前497年)。

畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島),自幼聰明好學,曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。以後因為嚮往東方的智慧,經過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及,吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中國文明的豐富營養,大約在公元前530年又返回薩摩斯島。後來又遷居義大利南部的克羅通,創建了自己的學派,一邊從事教育,一邊從事數學研究。

畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造,尤其是對整數的變化規律感興趣。例如,把(除其本身以外)全部因數之和等於本身的數稱為完全數(如6,28,496等),而將本身大於其因數之和的數稱為盈數;小於其因數之和的數稱為虧數。他們還發現了「直角三角形兩直角邊平方和等於斜邊平方」,西方人稱之為畢達哥拉斯定理,我國稱為勾股定理。當今數學上又有「畢達哥拉斯三元數組」的概念,指的是可作為直角三角形三條邊的三數組的集合。

在幾何學方面,畢達哥拉斯學派證明了「三角形內角之和等於兩個直角」的論斷;研究了黃金分割;發現了正五角形和相似多邊形的作法;還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。

畢達哥拉斯學派認為數最崇高,最神秘,他們所講的數是指整數。「數即萬物」,也就是說宇宙間各種關系都可以用整數或整數之比來表達。但是,有一個名叫希帕索斯的學生發現,邊長為1的正方形,它的對角線卻不能用整數之比來表達。這就觸犯了這個學派的信條,於是規定了一條規律:誰都不準泄露存在(即無理數)的秘密。天真的希帕索斯無意中向別人談到了他的發現,結果被殺害。但很快就引起了數學思想的大革命。科學史上把這件事稱為「第一次數學危機」。希帕索斯為殉難留下的教訓是:科學是沒有止境的,誰為科學劃定禁區,誰就變成科學的敵人,最終被科學所埋葬。

㈣ 畢達哥拉斯在數學上的成就

最早把數的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派.他們很重視數學,企圖用數來解釋一切.宣稱數是宇宙萬物的本原,研究數學的目的並不在於使用而是為了探索自然的奧秘.他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數.這在今天看來很平常的事,但在當時的哲學和實用數學界,這算是一個巨大的進步.在實用數學方面,它使得算術成為可能.在哲學方面,這個發現促使人們相信數是構成實物世界的基礎.
畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱於世.這定理早已為巴比倫人和中國人所知,不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯.他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和,即畢達哥拉斯定理(勾股定理).
畢達哥拉斯對數論作了許多研究,將自然數區分為奇數、偶數、素數、完全數、平方數、三角數和五角數等.在畢達哥拉斯派看來,數為宇宙提供了一個概念模型,數量和形狀決定一切自然物體的形式,數不但有量的多寡,而且也具有幾何形狀.在這個意義上,他們把數理解為自然物體的形式和形象,是一切事物的總根源.因為有了數,才有幾何學上的點,有了點才有線面和立體,有了立體才有火、氣、水、土這四種元素,從而構成萬物,所以數在物之先.自然界的一切現象和規律都是由數決定的,都必須服從「數的和諧」,即服從數的關系.
畢達哥拉斯還通過說明數和物理現象間的聯系,來進一步證明自己的理論.他曾證明用三條弦發出某一個樂音,以及它的第五度音和第八度音時,這三條弦的長度之比為6:4:3.他從球形是最完美幾何體的觀點出發,認為大地是球形的,提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想.他還認為十是最完美的數,所以天上運動的發光體必然有十個.
他還有一套這樣的理論:地球沿著一個球面圍繞著空間一個固定點處的「中央火」轉動,另一側有一個「對地星」與之平衡.這個「中央火」是宇宙的祭壇,是人永遠也看不見的.這十個天體到中央火之間的距離,同音節之間的音程具有同樣的比例關系,以保證星球的和諧,從而奏出天體的音樂.
他同時任意地把非物質的、抽象的數誇大為宇宙的本原,認為「萬物皆數」,「數是萬物的本質」,是「存在由之構成的原則」,而整個宇宙是數及其關系的和諧的體系.畢達哥拉斯將數神秘化,說數是眾神之母,是普遍的始原,是自然界中對立性和否定性的原則.

㈤ 畢達哥拉斯學派的數學成果有哪些

希臘數學中最值得注意的成果是畢達哥拉斯學派所創造的。畢達哥拉斯的追隨者們發展出一種復雜的數論,將數字歸為幾個范疇,諸如奇數、偶數、質數、合成數和完成數。他們或許也發現了比例理論,並首次證明任何三角形的三個角之和等於兩個直角。但他們的成就中最著名的當屬畢達哥拉斯本人所發現的定理:任何直角三角形的斜邊的平方,等於另外兩邊的平方之和。

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