近代數學什麼是個學

Ⅰ 概述近現代數學的發展史

--《近現代數學發展概論》張光遠重慶出版社 1991.12版

《現代化知識文庫--二十世紀數學史話》知識出版社 1984.2上海
注一：這是《二十世紀數學史話》的說法。
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國際數學界的最高獎?菲爾茲獎和國際數學家大會
諾貝爾獎金中為什麼沒有設數學獎？對此人們一直有著各種猜測與議論。每年一度的諾貝爾物理、化學、生理學和醫學獎，表彰了這幾個學科中的重大成就，獎掖了科學精英，可謂舉世矚目。不設數學獎，對於這個重要的基礎學科，豈不是失去了一個在世界范圍內評價重大成就和傑出人才的機會？
其實，數學領域中也有一種世界性的獎勵，這就是每四年頒發一次的菲爾茲獎。在各國數學家的眼裡，菲爾茲獎所帶來的榮譽可與諾貝爾獎金媲美。
菲爾茲獎是由國際數學聯盟（簡稱IMU）主持評定的，並且只在每四年召開一次的國際數學家大會（簡稱ICM）上頒發。菲爾茲獎的權威性，部分地即來自於此。所以，這里先簡單介紹一下「聯盟」與「大會」。

十九世紀以來，數學取得了巨大的進展。新思想、新概念、新方法、新結果層出不窮。面對琳琅滿目的新文獻，連第一流的數學家也深感有國際交流的必要。他們迫切希望直接溝通，以便盡快把握發展大勢。正是在這樣的情況下，第一次國際數學家大會在蘇黎世召開了。緊接著，一九00年又在巴黎召開了第二次會議，在兩個世紀的交接點上，德國數學家希爾伯特提出了承前啟後的二十三個數學問題，使得這次大會成為名副其實的迎接新世紀的會議。

自一九00年以後，大會一般每四年召開一次。只是因為世界大戰的影響，在一九一六年和一九四0～一九五0年間中斷舉行。第二次世界大戰以後的第一次大會是一九五0年在美國舉行的。在這次會議前夕，國際數學聯盟成立了。這個聯盟聯絡了全世界幾乎所有的主要數學家，她的主要任務是促進數學事業的發展和國際交流，組織進行四年一次的國際數學家大會及其他專業性國際會議，頒發菲爾茲獎。自此以後，大會的召開比較正常。從一八九七年算起，總共舉行了十九次大會，其中有九次是在一九五0～一九八三年間舉行的。

聯盟的日常事務由任期四年的執行委員會領導進行，近年來，這個委員會設主席一人，副主席二人，秘書長一人，一般委員五人，都是由在國際數壇上有影響的著名數學家擔任。每次大會的議程，由執委會提名一個九人咨詢委員會來編定。而菲爾茲獎的獲獎人，則由執委會提名一個八人評定委員會來遴選。評委會的主席也就是執委會的主席，可見對這個獎的重視。這個評委會首先由每人提名，集中提出近四十個值得認真考慮的候選人，然後進行充分的討論並廣泛聽取各國數學家的意見，最後在評定委員會內部投票決定本屆菲爾茲獎的得獎人。

現在，國際數學家大會已是全世界數學家最重要的學術交流盛會了。一九五0年以來，每次參加者都在兩千人以上，最近兩次大會的參加者更在三千人以上。這么多的參加者再加上這四年來無數的新成果，用什麼方法才能很好地交流呢？近幾次大會採取了分三個層次講演的辦法。以一九七八年為例，在各專業小組中自行申請作十分鍾講演的約有七百人，然後由咨詢委員會確定在各專業組中作四十五分鍾邀請講演的名單約二百個，以及向全會作一小時綜述報告的人選十七位。被指定作一小時報告是一種殊榮，報告者是當今最活躍的一些數學家，其中有不少是過去或未來的菲爾茲獎獲得者。

菲爾茲獎的宣布與授予，是開幕式的主要內容。當執委會主席（即評委會主席）宣布本屆得主名單之後，全場掌聲雷動。接著由東道國的重要人士（當地市長、所在國科學院院長、甚至國王、總統），或評委會主席授予一塊金質獎章，外加一干五百美元的獎金。最後由一些權威的數學家來介紹得獎人的傑出工作，並以此結束開幕式。

菲爾茲獎是以已故的加拿大數學家約翰?查爾斯?菲爾茲命名的。

一八六三年五月十四日，菲爾茲生子加拿大渥太華。他十一歲時父親逝世，十八歲時又失去了慈母，家境不算太好。菲爾茲十七歲時進入多倫多大學專攻數學。一八八七年，菲爾茲二十四歲，就在美國約翰．霍普金斯大學獲得了博士學位。又過了兩年，他在美國阿勒格尼大學當上了教授。

當時，世界數學的中心是在歐洲。北美的數學家差不多都要到歐洲學習、工作一段時間。一八九二年，菲爾茲遠渡重洋，游學巴黎、柏林整整十年。在歐洲，他與福雪斯、弗勞伯紐斯等著名數學家有密切的交往。這一段經歷，大大地開闊了菲爾茲的眼界。

作為一個數學家，菲爾茲的工作興趣集中在代數函數方面，成就不算突出，但作為一名數學事業的組織、管理者，菲爾茲卻是功績卓著的。

菲爾茲很早就意識到研究生教育的重要，他是在加拿大推進研究生教育的第一人。現在人們都知道，一個國家的研究生培養情況如何，是衡量這個國家科學水平的一個可靠指數。而在當時，能有這樣的認識實屬難能可貴。

菲爾茲對於數學的國際交流的重要性，對於促進北美州數學的發展，都有一些卓越的見解。為了使北美的數學迅速趕上歐洲，菲爾茲竭盡全力主持籌備了一九二四年的多倫多國際數學家大會（這是在歐洲之外召開的第一次大會）。這次大會使他精疲力盡，健康狀況再也沒有好轉，但這次會議對於北美的數學水平的成長產生了深遠的影響。

一九二四年大會沒有邀請德國等第一次世界大戰的戰敗國的數學家。在此之前的一九二0年大會，因為是在法國的斯特拉斯堡（戰前屬德國）舉行，德國拒絕參加（一九二八年的波倫亞大會只是由於希爾伯特堅持，德國才參加了。）。這些事情很可能觸發了菲爾茲發起一項國際性獎金的念頭，因為菲爾茲強烈地主張數學發展應該是國際性的。當菲爾茲知道了一九二四年大會的經費有結余時，他就建議以此作為基金設立一項這樣的獎。菲爾茲奔走歐美謀求支持，並想在?九三二年蘇黎世大會親自提出正式建議，結果未及開幕他就逝世了。是多倫多大學數學系的悉涅，把這個建議和一大筆錢（其中包括一九二四年大會的結余和菲爾茲的遺產）提交蘇黎世大會，大會立即接受了這一建議。

按照菲爾茲的意見，這項獎金應該就叫國際獎金，而不應該以任何國家機構或個人的名字來命名。但是國際數學家大會還是決定命名為菲爾茲獎。數學家們希望用這一方式來表示對菲爾茲的紀念和贊許，他不是以自已的研究工作，而是以遠見、組織才能和勤懇的工作促進了本世紀的數學事業。

第一次菲爾茲獎頒發於一九三六年。不久，國際形勢急劇惡化。原定一九四0年在美國召開的大會已成泡影。第二次的菲爾茲獎是在戰後的第一次大會，即一九五0年大會上頒發的。以後，每次大會都順利地進行了這一議程。?般是每屆兩名獲獎者。但一九六六年、一九七0年、一九七八年得獎人是四名，據說是因為有一位不願透露姓名的捐款人，使獎金可以臨時增加到四份，一九八二年華沙會議因故而延期至一九八三年八月舉行，獲獎者為三名。總起來，獲得菲爾茲獎的數學家己有二十七名。

在一九三六年、?九五0年、一九五四年這三次大會上，都是由一位數學家來介紹所有得獎人的工作的。一九三六年卡拉凱渥鐸利還講了一點獲獎者的生平。一九五0年評委會主席玻爾就只用清晰而非專門的語言簡述工作。一九五四年，由本世紀著名的數學家外爾介紹，他在結束語中盛贊兩位得獎者「所達到的高度是自己未曾夢想到的」，「自已從未見過這樣的明星在數學天空中燦爛地升起，」他說：「數學界為你們二位所做的工作感到驕傲。它表明數學這棵長滿節瘤的老樹仍然充滿著汁液和生機。你們是怎樣開始的，就怎樣繼續下去吧！」

從一九五八年起，改成每位獲獎者分別由一位數學家介紹。介紹的內容比較地局限於工作，對於獲獎者個人的情況很少涉及。這個做法，一直延續到最近一次大會。

菲爾茲獎只是一枚金質獎章，與諾貝爾獎金的十萬美元相比真是微不足道。為什麼在人們心目中，菲爾茲獎的地位竟然與諾貝爾獎金相當？

原因看來很多。菲爾茲獎是由數學界的國際學術團體－－國際數學聯盟，從全世界的第一流數學家中遴選的。就權威性與國際性而言，任何其他的獎勵都無法與之相比。菲爾茲獎四年才發一次，每次至多四名，因而獲獎機會比諾貝爾獎要少得多。但是主要的原因應該是：迄今為止的獲獎者用他們的傑出工作，證明了菲爾茲獎不愧為最重要的國際數學獎。事情就是這樣：從表面上看，一項獎賞為獲獎人帶來了巨大榮譽；而事實上正相反，正是得獎工作的水準奠定了這項獎勵的學術地位的基礎。

菲爾茲獎首先是一項工作獎（這一點與諾貝爾獎金相同），即授予的原因只能是「已經做出的成就」，而不能是服務優秀、活動積極等其他原因。但是菲爾茲獎只授予四十歲以下的數學家（起先是一種默契，後來就成為不成文的規定），因此也帶有一點鼓勵性。問題在於，如果放在整個數學家的范圍里，菲爾茲獎的得獎工作地位如何？

我們只舉一個小小的例子。一九七八年，當代著名的老一輩數學家，布爾巴基學派創始人之一丟東涅發表了一篇題為《論純數學的當前趨勢》的論文，對於近二十年來純數學各分支的前沿作了全面概述。在文章中，他列舉了十三個目前處於主流的數學分支。其中十二個分支中的部分重要工作是由菲爾茲獎獲得者作出的。這再清楚不過地說明了菲爾茲獎獲獎成就的地位。

人們不能不承認，數學對於現實生活的影晌正在與日俱增。許多學科都在悄悄地或先或後地經歷著一場數學化的進程。現在，已經沒有哪個領域能夠抵禦得住數學方法的滲透。

數學本身也在一日千里地發展著。全世界成千上萬的數學工作者正在幾十個分支成百個專門方向上孜孜研究著。他們每年提出大約二十萬條新定理！重要論文數，如以《數學評論》的摘要為准，每八至十年翻一番。文獻數量的爆炸再加上方法概念的迅速更新，使得工作在不同方向上的數學家連交談也有點困難，更不用說非數學專業的人了。

這樣就產生了一個尖銳的矛盾。一方面，公眾非常需要數學，他們渴望理解數學！另?方面，現代數學過於深刻、龐大、變得越來越不容易接近。

因此，對於數學，特別是現代數學加以普及，使得數學和數學家的工作能對現實生活產生應有的積極影響，這已成為人們日益重視的課題。

二十一世紀的曙光即將普照全球，要概述一下二十世紀的數學發展決非易事。就純粹數學而言，我們覺得有兩個主題可以起到提綱挈領的作用：一個是希爾伯特二十三問題的提出、解決現狀與發展，另一個就是菲爾茲獎的獲獎者及其工作。

作為一種表彰純數學成就的獎勵，菲爾茲獎當然不能體現現代數學的全部內容。就這個獎本身而言也有種種缺點。但是，無論從哪一方面講，菲爾茲獎的獲得者都可以作為當代數學家的代表，他們的工作所屬的領域大體上覆蓋了純粹數學主流分支的前沿。這樣，菲爾茲獎就成了一個窺視現代數學面貌的很好的「窗口」。

Ⅱ 數學發展歷史是什麼

數學發展如下：

第一時期

數學形成時期，這是人類建立最基本的數學概念的時期，人類從數數開始逐漸建立了自然數的概念，簡單的計演算法，並認識了最基本最簡單的幾何形式，算術與幾何還沒有分開。

第二時期

初等數學，即常量數學時期，這個時期的基本的、最簡單的成果構成中學數學的主要內容，這個時期從公元前5世紀開始，也許更早一些，直到17世紀，大約持續了兩千年，這個時期逐漸形成了初等數學的主要分支算術、幾何、代數。

第三時期

變數數學時期，變數數學產生於17世紀，大體上經歷了兩個決定性的重大步驟，第一步是解析幾何的產生，第二步是微積分，即高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支，它是數學的一個基礎學科，內容主要包括極限、微分學、積分學、方程及其應用。

微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論，它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論，積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

第四時期

現代數學，現代數學時期，大致從19世紀初開始，數學發展的現代階段的開端，以其所有的基礎代數、幾何、分析中的深刻變化為特徵。

中華民族是一個具有燦爛文化和悠久歷史的民族，在燦爛的文化瑰寶中數學在世界數學發展史中也同樣具有許多耀眼的光環，中國古代算術的許多研究成果裡面就早已孕育了後來西方數學才設計的先進思想方法，近代也有不少世界領先的數學研究成果就是以華人數學家命名的。

華氏定理是我國著名數學家華羅庚的研究成果，華氏定理為體的半自同構必是自同構自同體或反同體，數學家華羅庚關於完整三角和的研究成果被國際數學界稱為華氏定理，另外他與數學家王元提出多重積分近似計算的方法被國際上譽為華—王方。

蘇氏錐面數學家蘇步青在仿射微分幾何學方面的研究成果在國際上被命名為蘇氏錐面。

蘇步青院士對仿射微分幾何的一個極其美妙的發現是他對一般的曲面，構做出一個訪射不變的4次代數錐面。

在訪射的曲面理論中為人們許多協變幾何對象，包括2條主切曲線，3條達布切線，3條塞格雷切線和仿射法線等等，都可以由這個錐面和它的3根尖點直線以美妙的方式體現出來，這個錐面被命名為蘇氏錐面。

Ⅲ 數學是什麼

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。


數學【shù xué】（希臘語：μαθηματικ?）源自於古希臘語的μ?θημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹隘且技術性的意義——「數學研究」。即使在其語源內，其形容詞意義和與學習有關的，亦會被用來指數學的。其在英語的復數形式，及在法語中的復數形式+es成 mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞hjt數學（math）。以前我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。
它的意義
數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。雖然不同的傳統學派可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用，以及它們綜合起來的努力，才構成了數學科學的生命力、可用性和它的崇高價值。
數學史
基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。 今日，數學被使用在世界不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然許多以純數學開始的研究，但之後會發現許多應用。 創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。

編輯本段數學研究的各領域
數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數與數之間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。 數量 數量的學習起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。 當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成復數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：阿列夫數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。 結構 許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。 空間 空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及 數，且包含有非常著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。 基礎與哲學 為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。德國數學家康托（Georg Cantor，1845-1918）首創集合論，大膽地向「無窮大」進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了一場革命。由於他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數學家的反對，Pioncare也把集合論比作有趣的「病理情形」，Kronecker還擊Cantor是「神經質」，「走進了超越數的地獄」。對於這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：「我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.」 集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。 數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關聯性。

數學天才──高斯（C.F. Gauss） 高斯是德國數學家、物理學家和天文學家。 高斯一生下來，就對一切現象和事物十分好奇，而且決心弄個水落石出。7歲那年，高斯第一次上學了。 在全世界廣為流傳的一則故事說，高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題，布特納當時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899。說完高斯也算完並把寫有答案的小石板交了上去，當時只有他寫的答案是正確的。數學史家們傾向於認為，高斯當時已掌握了等差數列求和的方法。一位年僅10歲的孩子，能獨立發現這一數學方法實屬很不平常。 高斯的學術地位，歷來被人們推崇得很高。他有「數學王子」、「數學家之王」的美稱。
艾薩克·牛頓
牛頓（Isaac Newton） 是英國較為著名的物理學家和數學學家。 艾薩克·牛頓
在學校里，牛頓是個古怪的孩子，就喜歡自己設計、自己動手，做風箏、日晷、滴漏之類器物。他對周圍的一切充滿好奇，但並不顯得特別聰明。 1665～1666年嚴重的鼠疫席捲了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓於1665年6月離校返鄉。一天在樹下閑坐，看到一個蘋果落在地上，便開始捉摸，這種將蘋果往下拉的力會不會也在控制著月球。由此牛頓推導出物體的下落速度改變率與重力的大小成正比，而重力大小與距地心距離的平方成反比。後來牛頓的棱鏡實驗也使他一舉成名。 牛頓最卓越的數學成就是創立了微積分，此外對解析幾何與綜合幾何都有比較顯著的貢獻。 牛頓有兩句名言是大家所熟知的。他在一封信中寫道：「如果我比別人看得遠些，那是因為我站在巨人們的肩上。」據說他還講過：「我不知道世人對我怎麼看；但在我自己看來就好像只是一個在海濱嬉戲的孩子，不時地為比別人找到一塊光滑的卵石或一隻更美麗的貝殼而感到高興，而我面前的 戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨
浩瀚的真理海洋，卻還完全是個謎。」
960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火葯、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，1213年鮑擀之又進行翻刻。這些都為數學發展創造了良好的條件。 從11～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝九章演算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章演算法》《日用演算法》和《楊輝演算法》，朱世傑的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領域都達到古代數學的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。 從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章演算法纂類》中載有賈憲「增乘開平方法」、「增乘開立方法」；在《詳解九章演算法》中載有賈憲的「開方作法本源」圖、「增乘方法求廉草」和用增乘開方法開四次方的例子。根據這些記錄可以確定賈憲已發現二項系數表，創造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數學發生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。 把增乘開方法推廣到數字高次方程(包括系數為負的情形)解法的是劉益。《楊輝演算法》中「田畝比類乘除捷法」卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，後者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。 秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數項規定為負數，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦九韶採取繼續求根的小數，或用減根變換方程各次冪的系數之和為分母，常數為分子來表示根的非整數部分，這是《九章算術》和劉徽注處理無理數方法的發展。在求根的第二位數時，秦九韶還提出以一次項系數除常數項為根的第二位數的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。 元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數的內插值問題。秦九韶在「綴術推星」題、朱世傑在《四元玉鑒》「如象招數」題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世傑得到一個四次函數的內插公式。 用天元(相當於x)作為未知數符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天元術著作是李冶的《測圓海鏡》。 從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯立方程組，是宋元數學家的又一項傑出的創造。留傳至今，並對這一傑出創造進行系統論述的是朱世傑的《四元玉鑒》。 朱世傑的四元高次聯立方程組表示法是在天元術的基礎上發展起來的，他把常數放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世傑的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數，其他元組成的多項式作為這未知數的系數，列成若干個一元高次方程式，然後應用互乘相消法逐步消去這一未知數。重復這一步驟便可消去其他未知數，最後用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發展，比西方同類方法早400多年。 勾股形解法在宋元時期有新的發展，朱世傑在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。 已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經余弧，求赤經余弧和赤緯度數，是一個解球面直角三角形的問題，傳統歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。 中國古代計算技術改革的高潮也是出現在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與演算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現。但如果把現代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的演算法和口訣，那麼應該說它最後完成於元代。 宋元數學的繁榮，是社會經濟發展和科學技術發展的必然結果，是傳統數學發展的必然結果。此外，數學家們的科學思想與數學思想也是十分重要的。宋元數學家都在不同程度上反對理學家的象數神秘主義。秦九韶雖曾主張數學與道學同出一源，但他後來認識到，「通神明」的數學是不存在的，只有「經世務類萬物」的數學；莫若在《四元玉鑒》序文中提出的「用假象真，以虛問實」則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數神秘主義。所有這些，無疑是促進數學發展的重要因素。
中西方數學的融合
中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統治者實行極權統治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數學發展逐漸衰落。 16世紀末以後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國數學研究出現一個中西融合貫通的局面；鴉片戰爭以後，近代數學開始傳入中國，中國數學便轉入一個以學習西方數學為主的時期；到19世紀末20世紀初，近代數學研究才真正開始。 從明初到明中葉，商品經濟有所發展，和這種商業發展相適應的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經》的出現，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，後者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器傢具手冊中。 隨著珠算的普及，珠算演算法和口訣也逐漸趨於完善。例如王文素和程大位增加並改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣並在除法中廣泛應用歸除，從而實現了珠算四則運算的全部口訣化；朱載墒和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。 1582年，義大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以後，他先後與徐光啟翻譯了《幾何原本》前六卷、《測量法義》一卷，與李之藻編譯《圜容較義》和《同文算指》。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若乾的三角學，以及納皮爾算籌、伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。
在傳入的數學中，影響最大的是《幾何原本》。《幾何原本》是中國第一部數學翻譯著作，絕大部分數學名詞都是首創，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它「不必疑」、「不必改」，「舉世無一人不當學」。《幾何原本》是明清兩代數學家必讀的數學書，對他們的研究工作頗有影響。 其次應用最廣的是三角學，介紹西方三角學的著作有《大測》《割圓八線表》和《測量全義》。《大測》主要說明三角八線(正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、余矢)的性質，造表方法和用表方法。《測量全義》除增加一些《大測》所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。 1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世後，薛鳳柞據其所學，編成《歷學會通》，想把中法西法融會貫通起來。《歷學會通》中的數學內容主要有比例對數表》《比例四線新表》和《三角演算法》。前兩書是介紹英國數學家納皮爾和布里格斯發明增修的對數。後一書除《崇禎歷書》介紹的球面三角外，尚有半形公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著《數度衍》對對數理論進行解釋。對數的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。 清初學者研究中西數學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡《圖解》、梅文鼎《梅氏叢書輯要》(其中數學著作13種共40卷)、年希堯《視學》等。梅文鼎是集中西數學之大成者。他對傳統數學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕於枯萎的明代數學出現了生機。年希堯的《視學》是中國第一部介紹西方透視學的著作。 清康熙皇帝十分重視西方科學，他除了親自學習天文數學外，還培養了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文演算法書。1721年完成《律歷淵源》100卷，以康熙「御定」的名義於1723年出版。其中《數理精蘊》主要由梅彀成負責，分上下兩編，上編包括《幾何原本》、《演算法原本》，均譯自法文著作；下編包括算術、代數、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數學，附有素數表、對數表和三角函數表。由於它是一部比較全面的初等數學網路全書，並有康熙「御定」的名義，因此對當時數學研究有一定影響。 雍正即位以後，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內實行高壓政策，致使一般學者既不能接觸西方數學，又不敢過問經世致用之學，因而埋頭於究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據學為主的乾嘉學派。 隨著《算經十書》與宋元數學著作的收集與注釋，出現了一個研究傳統數學的高潮。其中能突破舊有框框並有發明創造的有焦循、汪萊、李銳、李善蘭等。他們的工作，和宋元時代的代數學比較是青出於藍而勝於藍的；和西方代數學比較，在時間上晚了一些，但這些成果是在沒有受到西方近代數學的影響下獨立得到的。 與傳統數學研究出現高潮的同時，阮元與李銳等編寫了一部天文數學家傳記—《疇人傳》，收集了從黃帝時期到嘉慶四年已故的天文學家和數學家270餘人(其中有數學著作傳世的不足50人)，和明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這部著作全由「掇拾史書，荃萃群籍，甄而錄之」而成，收集的完全是第一手的原始資料，在學術 數學家華羅庚
界頗有影響。 1840年鴉片戰爭以後，西方近代數學開始傳入中國。首先是英人在上海設立墨海書館，介紹西方數學。第二次鴉片戰爭後，曾國藩、李鴻章等官僚集團開展「洋務運動」，也主張介紹和學習西方數學，組織翻譯了一批近代數學著作。 其中較重要的有李善蘭與偉烈亞力翻譯的《代數學》《代微積拾級》；華蘅芳與英人傅蘭雅合譯的《代數術》《微積溯源》《決疑數學》；鄒立文與狄考文編譯的《形學備旨》《代數備旨》《筆算數學》；謝洪賚與潘慎文合譯的《代形合參》《八線備旨》等等。 《代微積拾級》是中國第一部微積分學譯本；《代數學》是英國數學家德·摩根所著的符號代數學譯本；《決疑數學》是第一部概率論譯本。在這些譯著中，創造了許多數學名詞和術語，至今還在應用，但所用數學符號一般已被淘汰了。戊戌變法以後，各地興辦新法學校，上述一些著作便成為主要教科書。 在翻譯西方數學著作的同時，中國學者也進行一些研究，寫出一些著作，較重要的有李善蘭的《尖錐變法解》《考數根法》；夏彎翔的《洞方術圖解》《致曲術》《致曲圖解》等等，都是會通中西學術思想的研究成果。 由於輸入的近代數學需要一個消化吸收的過程，加上清末統治者十分腐敗，在太平天國運動的沖擊下，在帝國主義列強的掠奪下，焦頭爛額，無暇顧及數學研究。直到1919年五四運動以後，中國近代數學的研究才真正開始。
編輯本段中國古代著名數學家

在數學的領域中, 提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.——康扥爾 只要一門科學分支能提出大量的問題， 它就充滿著生命力, 而問題缺乏則預示獨立發展的終止或衰亡。 ——希爾伯特 在數學的天地里，重要的不是我們知道什麼，而是我們怎麼知道什麼. ——畢達哥拉斯 一門科學，只有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步。 ——馬克思 一個國家的科學水平可以用它消耗的數學來度量. ——拉奧 柯西 (Augustin Louis Cauchy 1789-1857) 如果認為只有在幾何證明裡或者在感覺的證據里才有必然，那會是一個嚴重的錯誤。給我五個系數， 笛卡兒(Rene Descartes 1596-1650) 我思故我在。 我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在於解釋自然現象的幾何。 數學是人類知識活動留下來最具威力的知識工具，是一些現象的根源。數學是不變的，是客觀存在的，上帝必以數學法則建造宇宙。 歐拉(Leonhard Euler 1707-1783) 雖然不允許我們看透自然界本質的秘密，從而認識現象的真實原因，但仍可能發生這樣的情形：一定的虛構假設足以解釋許多現象。 因為宇宙的結構是最完善的而且是最明智的上帝的創造，因此，如果在宇宙里沒有某種極大的或極小的法則，那就根本不會發生任何事情 祖沖之(429-500) 遲序之數，非出神怪，有形可檢，有數可推。 劉徽 事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。 拉普拉斯(Pierre Simon Laplace 1749-1827) 這就是結構好的語言的好處，它簡化的記法常常是深奧理論的源泉。 在數學這門科學里，我們發現真理的主要工具是歸納和類比。 讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們大家的老師。 一個國家只有數學蓬勃發展，才能表現她的國力強大。 認識一位巨人的研究方法，對於科學的進步並不比發現本身更少用處。科學研究的方法經 常是極富興趣的部分。 萊布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646-1716) 虛數是奇妙的人類棈神寄託，它好像是存在與不存在之間的一種兩棲動物。 不發生作用的東西是不會存在的。 考慮了很少的那幾樣東西之後，整個的事情就歸結為純幾何，這是物理和力學的一個目標 西爾維斯特(James Joseph Sylvester 1814-1897) 幾何看來有時候要領先於分析，但事實上，幾何的先行於分析，只不過像一個僕人走在主人的前面一樣，是為主人開路的。 也許我可以並非不適當地要求獲得數學上亞當這一稱號，因為我相信數學理性創造物由我命名(已經流行通用)比起同時代其他數學家加在一起還要多。 魏爾斯
編輯本段現代數學衍生品
數學的出現，增加了很多學生的煩惱，但是數學也一直是大家無法迴避的一個話題，數學的難題，讓很多人不知所措。當今，更是出現了很多的的數學輔導班，各類的家教班。但是數學是一門很有用的學科。自從人類出現在地球上那天起，人們便在認識世界、改造世界的同時對數學有了逐漸深刻的了解。早在遠古時代，就有原始人「涉獵計數」與「結繩記事」等種種傳說。可見，「在早期一些古代文明社會中已產生了數學的開端和萌芽」（在BC3000年左右巴比倫和埃及數學出現以前，人類在數學上沒有取得更多的進展」，而「在BC600—BC300年間古希臘學者登場後」，數學便開始「作為一名有組織的、獨立的和理性的學科 由此可見，古往今來，人類社會都是在不斷了解和探究數學的過程中得到發展進步的。數學對推動人類文明起了舉足輕重的作用。

Ⅳ 近代數學的興起讀後感

數學在人類文明的發展中起著非常重要的作用,數學推動了重大科學技術的進步,在早期社會發展的歷史上,限於技術條件,依據數學推理和推算所作的預見,往往要多年之後才能實現,數學為人類生產和生活帶來的效益容易被忽視.進入二十世紀,尤其式到了二十世紀中葉以後,科學技術發展到現在的程度,數學理論研究與實際應用之間的時間已大大縮短,特別是當前,隨著電腦應用的普及,信息的數字化和信息通道的大規模聯網,依據數學所作的創造設想已達到即時試、即時實施的地步,數學技術將是一種應用最廣泛、最直接、最及時、最富創造力和重要的技術,故而當今和未來的發展將更倚重數學的發展.

數學對人的影響也式非常深刻的,「數學是鍛煉思維的體操」,數學的重要性不僅僅是它蘊含在各個知識領域之中,而且更重要的是它能很好地鍛煉人的思維,有效地提高能力,而能力（理解能力、分析能力、運算能力）則是關繫到學習效率的更重要因素.

在我國建國60年來,我國數學科學的發展更是取得了輝煌的成就,涌現了一批如：華羅庚、吳文俊等站在數學發展最前沿的,代表數學發展方向的,享譽世界的數學家,對比其他國家數學科學的發展,我國的數學發展可謂一波三折.

與美國相比,自二戰以後,為了迎接越來越大的內外挑戰,美國經歷了四次重大的教育改革實踐,由二十世紀50年代末前蘇聯在「外層空間」的挑戰而引發的「學科結構」為運動發端的教育大討論,70年代初興起了改變職教與普教分離的「生計教育」,至70年代中期又展開了強調基礎知識與基礎技能訓練的「回歸基礎」運動,而80年代則掀起了波瀾壯闊的綜合教育改革運動,如果說美國80年代以前的教育具有明顯的「應時性」特徵的話,那麼進入80年代後則更多地呈現出綜合性與前瞻性的特點,並以四個著名的教育改革文獻——《國家處於危機之中：教育改革勢在必行》,《2061計劃：面向全體美國人的科學》,《美國2000年教育戰略》,《2000年目標：美國教育法》為標志,向世界呈現了一副21世紀的教育藍圖.
從我國第一部數學著作,九章算術開始,中國的數學事業,便蓬勃的發展.算籌,割圓術,楊輝三角等等發現或者理論,祖沖之,秦九韶等數學家,都為中國在世界數學史上增輝添彩,許多數學理論,都領先外國多年.但是中國傳統數學,有一個明顯的特點,就是數學著作都以社會生產和生活實踐中的問題為綱,這些問題基本按社會、生活領域進行分類,過分重實用,不利於抽象概念和命題的形成.而且,中國傳統數學始終置於政府控制之下,直接受制於統治階級的意識形態和社會的需求,特別的,明代封建統治者的政策不利於數學發展.這些都導致後期中國數學發展緩慢,無法與世界接軌.
至於中國近現代的數學發展,1919年五四運動以後,中國近代數學的研究才真正開始.這期間,浮現了諸多偉大的數學家,蘇步青,趙元任,他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家,為中國近現代數學發展做出重要貢獻.從北大1912年成立時建立的數學系起,中國各地的數學教育日漸成熟,培養了許多數學領域的人才,在諸多領域都取得了偉大的成就（PS：具體LZ自己網路一下吧,很容易的,太長了）但是值得注意的是,自從改革開放,中國的經濟實力不斷增強,與外界的合作也日漸增多.但是,這給人們帶來的功利,浮躁心理,也不容忽視.試看現在中國的數學教育,人人都在搞競賽（雖然現在國家限制）,各種培訓班培養出來的,很多都是沒有興趣的做題機器,這種人,是很難在數學領域有所長足發展的.
中國在不斷強大,我們新一代的年輕人,要有理想,不能急功近利的只關注高收益的學科與專業,更應注重基礎學科的發展,一個國家的科技水平,不僅體現在工業領域,基礎理論也是科學不可分割一部分.縱觀中國的數學發展史,不管時代如何,代代都有才人出.希望,中國的數學,將會在我們這一代,有長足的發展,不要讓中國悠久的歷史,在我們這一代蒙羞.

Ⅳ 近代數學的創立，真的是牛頓為了學費而創立的

當然不是，牛頓為了增加多點學費而創立微積分這門學科的那個故事僅僅只是一個段子而已。實際上，牛頓是為了解決一些用當時的數學知識難以解決的問題才創立的微積分。大家都知道，數學只是科學研究的一種工具，有很大一部分的數學理論都是為了解決某些具體問題才創立的。至於說什麼為了騙學生的學費才創立的微積分 ，這種故事很明顯就是個段子而已。

當然了，牛頓在數學上還有很多的貢獻，比如二項式定理等，但這些都是牛頓為了解決物理問題才研究出來的數學工具，並不是為了騙學生學費。

Ⅵ 近代數學的興起

近代數學的興起

第一節 中世紀的歐洲

在巴比倫、埃及、中國、印度、希臘和羅馬等文明興盛時代，歐洲（除希臘和義大利）還處於原始文明時期，大約在公元500年左右才開始出現新文化。公元5~11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期，天主教會成為歐洲社會的絕對勢力，封建宗教統治，使一般人篤信天國，追求來世，從而淡漠世俗生活，對自然不感興趣。教會宣揚天啟真理，並擁有解釋這種真理的絕對權威，導致了理性的壓抑，歐洲文明在整個中世紀處於凝滯狀態。

由於羅馬人偏重於實用而沒有發展抽象數學，這對羅馬帝國崩潰後的歐洲數學也有一定的影響，終使黑暗時代的歐洲在數學領域毫無成就。不過因宗教教育的需要，也出現一些水平低下的算術和幾何教材。羅馬人博埃齊（A.M.S.Boethius,約480~524）根據希臘材料用拉丁文選編了《幾何》、《算術》等教科書，《幾何》內容僅包含《幾何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡單的測量術；《算術》則是根據四百年前尼科馬庫斯（Nicomachus）的一本淺易的著作編寫的。這樣簡單的書籍竟一直成為歐洲教會學校的標准課本。此外，這一時期還有英國的比德（V.Bede,674~735）和後來成為教皇的法國人熱爾拜爾（Gerbert,約950~1003，第一個在西班牙穆斯林學校學習的基督教徒）等人也討論過數學，前者研究過算術中的指算，據說後者可能把印度-阿拉伯數字帶入歐洲。

直到12世紀，歐洲數學才出現復甦的跡象。這種復甦開始由於受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激。1100年左右，歐洲人通過貿易和旅遊，同地中海地區和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國的拜占庭人發生了接觸。十字軍為掠奪土地的東征，使歐洲人進入了阿拉伯世界，從此歐洲人從阿拉伯人和拜占庭人那裡學到希臘以及東方古典學術，激發他們對這些學術著作的搜求、發掘和研究，最終導致了文藝復興時期歐洲數學的高漲。文藝復興前哨的義大利，由於其特殊的地理位置容易與外部文明相聯系，西西里島成為東西方文化的熔爐。古代學術傳播西歐的路線如下圖所示。

數學著作的翻譯主要有英國的阿德拉特(Adelard,約1120)翻譯的《幾何原本》和花拉字米的天文表；義大利人普拉托（Plato,12世紀上半葉）翻譯的巴塔尼的《天文學》和狄奧多修斯的《球面幾何》以及其它著作。12世紀最偉大的翻譯家格拉多（Gherardo,1114~1187）將90多部阿拉伯文著作翻譯成拉丁文，其中包括托勒玫的《大匯編》、《幾何原本》、花拉子米的《代數學》。因此可以說12世紀是歐洲數學的翻譯時代。

歐洲黑暗時代以後，第一位有影響的數學家是斐波那契(Fibonacci, 1170~1250)，他早年就隨其父親在北非從師阿拉伯人學習算學，後又游歷地中海沿岸諸國，回義大利寫成《算盤書》(Abaci, 1202)，這部著名的著作主要是古代中國、印度和希臘數學著作的內容，包括印度-阿拉伯數碼，分數演算法，開方法，二次和三次方程，不定方程，以及《幾何原本》和希臘三角學的大部分內容（如中國數學的「孫子問題」，「百雞問題」均出現於該書中）。特別是，書中系統介紹了印度數碼，影響了歐洲數學面貌。《算盤書》可以看作是歐洲數學在經歷了漫長的黑夜之後走向復甦的號角。

歐洲數學復甦的過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會中的經院哲學派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學的進步。特別是他們把亞里士多德、托勒玫的一些學術奉為絕對正確的教條，妄圖用這種新的權威主義來繼續束縛人們的思想。歐洲數學真正的復甦，要到15、16世紀。在文藝復興的高潮中，數學的發展與科學的革新緊密結合在一起，數學在認識自然和探索真理方面的意義被文藝復興的代表人物高度強調。達芬奇(1452~1519)就這樣說過：「一個人若懷疑數學的極端可靠性就是陷入混亂，他永遠不能平息詭辯科學中只會導致不斷空談的爭辯。……因為人們的探討不能稱為科學的，除非通過數學上的說明和論證。」伽利略乾脆認為宇宙「這本書是用數學的語言寫成的」。科學中數學化趨勢的增長促使數學本身走向繁榮。以下簡略介紹這一時期數學發展的重要方面。 第二節 向近代數學的過渡

2.1 代數學

歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號代數的引入這兩個方面。

翻譯家格拉多（gherardo, 1114~1187）將花拉子米的《代數學》翻譯成拉丁文後，開始在歐洲傳播，不過，直到十五世紀, 人們還以為三、四次方程與化圓為方問題一樣難以解決。第一個突破是波倫亞大學的數學教授費羅（Scipionedel Ferro, 1465~1526）大約於1515年左右作出的，他發現了形如(m , n > 0)的三次方程的代數解法。當時流行著學者們不公開自己研究成果的風氣，費羅將自己的解法秘密傳給他的學生費奧(Antonio Maria Fior）。與此同時，1535年義大利另一位數學家塔塔利亞（Niccolo Fontana, 1499?~1557，綽號Tartaglia）也宣稱自己可以解形如 (m , n > 0)的三次方程。於是，費奧開始向塔塔利亞挑戰，要求各自解出對方提出的十三個三次方程，比賽結果，塔塔利亞很快解出形如和(m , n > 0)的兩類型所有三次方程，而費奧僅能解出前一類型的方程。塔塔利亞同樣沒有公布他的解法，在教書行醫於米蘭的學者卡爾丹（G.Cardano，1501~1576）的再三請求、並答應保密的情況下，塔塔利亞將其解法傳授與他。不久，卡爾丹違背諾言而著《大法》（Ars magna, 1545）一書，公布了這些解法。《大法》所載三次方程 x3+px= q 的解法，實質是考慮恆等式 (a-b)3 + 3ab(a-b) = a3-b3

若選取a和b，使 3ab= p，a3-b3 = q， （*）

由（*）不難解出a和b，

a = b=

於是得到a-b就是所求的x. 後人稱之為卡爾丹公式。

三次方程解決後不久，1540年義大利數學家達科伊（T.Da Coi）向卡爾丹提出一個四次方程的問題，卡爾丹為能解決，由其學生費拉里（Lodovico Ferrari,1522~1565）解決了，其解法也被卡爾丹寫進《大術》中。其解法是利用一個變換：，將一般四次方程簡化為，由此進一步 於是，對於任意的z，有 再選擇適當的z，使上式右邊成為完全平方式，實際上使

即可。這樣就變為z的三次方程。

費拉里所討論的四次方程類型主要有以下幾種：

當然，說卡爾丹完全是剽竊失之於公正，因為他在書中已註明這個解法是塔氏告訴他的，而且塔氏也沒有給出證明。卡爾丹不僅將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程，並且補充了幾何證明。書中對三次方程求解中的所謂「不可約」情形感到困惑（不可約情形就是判別式），實質上它涉及到實數的復數表示問題。在卡氏去世後四年的1572年，義大利數學家邦貝利（R.Bombelli, 約1526~1573）在其所著教科書《代數》中引進了虛數，用以解決三次方程不可約情況，並以dimrq11表示?-11.卡爾丹認為復根是成對出現的（這一推測後來被牛頓（Newton，1642~1727）在其《普遍的算術》中所證明），認識到三次方程有三個根，四次方程有四個根。在此基礎上，荷蘭人吉拉德（Albert Girard，1593~1632）於《代數新發現》（1629）中又作進一步的推斷：對於n次多項式方程，如果把不可能的（復數根）考慮在內，並包括重根，則應有 n個根。不過，沒有給出證明。卡爾丹還發現了三次方程的三根之和等於x2項的系數的相反數，每兩根乘積之和等於x項的系數，等等，這種根與系數的關系問題後來由韋達(f.vieta,1540~1603)、牛頓和格列高里 (James Gregory，1638~1675) 等人作出系統闡述。

在法國，數學家韋達也寫過《分析方法入門》（1591）、《論方程的整理與修正》（1615）與《有效的數值解法》（1600）等幾本方程論著作，韋達給出代數方程的近似解法與代數方程的多項式分解因式解法。1637年，笛卡兒（Descartes,1596~1650）首次應用待定系數法將四次方程分解成兩個二次方程求解。今天所說的因式分解定理，最早由笛卡兒在其《幾何學》中提出，他說：f (x) 能為 (x-a) 整除，當且僅當a 是f (x) = 0的一個根。他還證明了：若有理系數的三次方程有一個有理根，則此多項式可表示為有理系數因子的乘積，並且引用了待定系數法原理。笛卡兒在《幾何學》中也未加證明敘述了，n次多項式方程應有 n個根的論斷，以及今天所謂的「笛卡兒符號法則」：多項式方程f (x) = 0 的正根的最多個數等於系數變號的次數，負根的最多個數等於兩個正號與兩個負號連續出現的次數。綜覽笛卡兒的工作，容易發現他已初步建立了多項式方程有理根的現代方法。

文藝復興時期歐洲方程論與代數學研究是數學史上精彩的一頁，義大利人在三、四次方程解法方面的工作是整個17、18世紀數學關於高次代數方程理論的一系列漫長而影響深遠的探索的起始點。

代數上的進步還在於引用了較好的符號體系，這對於代數學本身的發展以及分析學的發展來說，至為重要。正是由於符號化體系的建立，才使代數有可能成為一門科學。近現代數學一個最為明顯、突出的標志，就是普遍地使用了數學符號，它體現了數學學科的高度抽象與簡練。文藝復興時期代數學的另一重大進展，便是系統地引入符號代數。

盡管埃及、希臘與印度人都曾零星地使用過縮寫文字和符號，中國宋元時期的數學家也引入天元、地元、人元、物元等來表示未知數，但他們都無意識到這樣做的重要意義。只有丟番圖(Diophantus)自覺地運用符號以使代數的思路與書寫更加緊湊有效。或許由於印刷術傳入歐洲帶來的結果，十五世紀及十六世紀初的歐洲數學著作的書寫形式盡管主要是文章式的，但流行著使用一些特殊詞語的縮寫與特定的數學符號，在義大利修道士帕奇歐里(L.Pacioli,約1445~1509)的《算術、幾何及比例性質之摘要》（1494）、德國人斯蒂費爾（Stifel,1486？~1567）的《綜合算術》（1544），以及魯道夫（C.Rudolff, 約1500~約1545）的《求根術》等書中尤為顯著。

數學符號系統化首先歸功於法國數學家韋達，由於他的符號體系的引入導致代數性質上產生最重大變革。韋達原是律師與政治家，業余時間研究數學。他曾在布列塔尼（Brittany）議會工作，後任那瓦爾的亨瑞（Henry）親王的樞密顧問官，他在政治上失意的1584~1589年間，獻身於數學研究，曾研究過卡爾丹、塔塔利亞、邦貝利、史蒂文（Stevin, 1548~1620）和丟番圖等人的著作，從這些著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法，在他的《分析引論》（1591）中，第一次有意識地使用系統的代數字母與符號，輔音字母表示已知量，母音字母表示未知量，他把符號性代數稱作「類的算術」。同時規定了算術與代數的分界，認為代數（logistica speciosa）運算施行於事物的類或形式，算術運算（logistica numerosa）施行於具體的數。這就使代數成為研究一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛。

韋達的這種做法受到後人的贊賞，並被吉拉德的《代數新發現》和奧特雷德（Oughtred，1575~1660）的《實用分析術》所繼承，靈活地加以運用，特別是通過後者的著作使採用數學符號的風氣流行起來。對韋達所使用的代數法的改進工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個（a, b, c, d, …）表示已知量，後幾個（x, y, z, w, …）表示未知量，成為今天的習慣，他改變了韋達的做法，毫無區別地採用文字系數。韋達的符號代數保留著齊性原則，要求方程中各項都是「齊性」的，即體積與體積相加，面積與面積相加。這一障礙隨著笛卡兒解析幾何的誕生也得到消除。

到十七世紀末，歐洲數學家已普遍認識到，數學中特意使用符號具有很好的功效。並且使數學問題具有一般性。不過當時隨意引入的符號太多，我們今天所使用的符號，實際是這些符號經過長期淘汰後剩下來的。