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高一數學必修4有哪些章節

發布時間:2022-09-23 11:22:21

⑴ 人教高一數學必修4目錄

第一章 三角函數 1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函數 1.3三角函數的誘導公式 1.4三角函數的圖像與性質 函數y=Acos(wx+凡)及……1.5函數y=Asin(wx+凡)的圖像1.6三角函數模型的簡單應用小結復習參考題第二章2.1平面向量的實際背景及基本概念2.2平面向量的線性運算2.3平面向量的基本定理級坐標表示2.4平面向量的數量積2.5平面向量應用舉例小結復習參考題第三章3.1兩角和與差的正弦、餘弦、正切公式3.2簡單的三角恆等變換小結復習參考題

⑵ 求一份高中數學必修一到必修四的章節(包括小節)標題名

從你的標題上看,你是指新課標下高中數學必修教材;必修1-必修5主要是高中數學的基礎知識,從內容上說如下:
必修1是集合、函數概念、性質、初等函數中的指對冪、函數與方程,這里函數概念、性質、指對冪是重點,作為一個高中生必須掌握;
必修4是三角函數、向量,其中三角函數基礎而重要,向量是解決數學問題的重要工具之一,必要的向量方法需要掌握;
必修5是解三角形、數列、不等式,其中解三角形是初中解直角三角形的繼續並發展到解任意三角形,工具就是正餘弦定理;數列是高中數學重要內容之一,其中等差、等比透射出的方法,如倒序求和、累加求和、錯位相減、累乘求和等一定要達到熟練程度;不等式,課本講得不多,其實內容很豐富,要將小學、初中、高中所涉及到的不等式知識進行認真梳理,包括解各類不等式、簡單證明不等式等,在選修中還有《推理與證明》一章,這里與不等式也有著千絲萬縷的聯系,不可將不等式僅限於必修5上所講,應該從高中數學全局的高度來領會不等式知識;
必修2是立幾初步、解幾初步,兩個內容都是高中數學的基礎內容,基礎而重要,特別是直線與圓知識更是全面反應出解析幾何的基本思想方法,此不多言;
必修3是演算法、概率,兩個內容都不難,但對於選修2系列的學生而言,概率學習還沒結束,後面還有更難的知識等待著你,如排列組合、概率分布等;
以上概要地對必修1-必修5進行了剖析,不知是否是你所需要的,如果想有更多交流,請發信息給我,朋友就是財富!
祝好!

⑶ 高中數學必修4的作品目錄

第一章 三角函數
1.1 任意角和弧度制
1.2 任意角的三角函數
閱讀與思考 三角學與天文學
1.3 三角函數的誘導公式
1.4 三角函數的圖象與性質
探究與發現函數y=Asin(ωx+φ)及函數y=Acos(ωx+φ)
探究與發現 利用單位圓中的三角函數線研究正弦函數、餘弦函數的性質
信息技術應用 利用正切線畫y=tanx,x∈(-π/2,π/2)
1.5函數y=Asin(ωx+φ)的圖像
閱讀與思考振幅、周期、頻率、相位
1.6三角函數模型的簡單應用
小結
復習參考題
第二章平面向量
2.1平面向量的實際背景及基本概念
閱讀與思考向量及向量符號的由來
2.2平面向量的線性運算
2.3平面向量的基本定理及坐標表示
2.4平面向量的數量積
2.5平面向量應用舉例
閱讀與思考向量的運算(運算律)與圖形性質
小結
復習參考題
第三章三角恆等變換
3.1兩角和與差的正弦、餘弦和正切公式
信息技術應用利用信息技術製作三角函數表
3.2簡單的三角恆等變換
小結
復習參考題

⑷ 高一數學必修四知識點

高中階段學科知識交叉多、綜合性強,以理解和應用為主,要求學生要有更強的分析、概括、綜合、實踐的能力。在高中階段,不能只局限於知識的學習,而要重視觀察、思維、分析、閱讀、動手等能力的培養。下面是我給大家帶來的 高一數學 知識點,希望大家能夠喜歡!

高一數學知識點匯總

空間幾何體表面積體積公式:

1、圓柱體:表面積:2πRr+2πRh體積:πR2h(R為圓柱體上下底圓半徑,h為圓柱體高)

2、圓錐體:表面積:πR2+πR[(h2+R2)的]體積:πR2h/3(r為圓錐體低圓半徑,h為其高,

3、a-邊長,S=6a2,V=a3

4、長方體a-長,b-寬,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc

5、稜柱S-h-高V=Sh

6、棱錐S-h-高V=Sh/3

7、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3

8、S1-上底面積,S2-下底面積,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/6

9、圓柱r-底半徑,h-高,C—底面周長S底—底面積,S側—,S表—表面積C=2πrS底=πr2,S側=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h

10、空心圓柱R-外圓半徑,r-內圓半徑h-高V=πh(R^2-r^2)

11、r-底半徑h-高V=πr^2h/3

12、r-上底半徑,R-下底半徑,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半徑d-直徑V=4/3πr^3=πd^3/6

14、球缺h-球缺高,r-球半徑,a-球缺底半徑V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3

15、球台r1和r2-球台上、下底半徑h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6

16、圓環體R-環體半徑D-環體直徑r-環體截面半徑d-環體截面直徑V=2π2Rr2=π2Dd2/4

17、桶狀體D-桶腹直徑d-桶底直徑h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母線是圓弧形,圓心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母線是拋物線形)

練習題:

1.正四棱錐P—ABCD的側棱長和底面邊長都等於,有兩個正四面體的棱長也都等於.當這兩個正四面體各有一個面與正四棱錐的側面PAD,側面PBC完全重合時,得到一個新的多面體,該多面體是()

(A)五面體

(B)七面體

(C)九面體

(D)十一面體

2.正四面體的四個頂點都在一個球面上,且正四面體的高為4,則球的表面積為()

(A)9

(B)18

(C)36

(D)64

3.下列說法正確的是()

A.稜柱的側面可以是三角形

B.正方體和長方體都是特殊的四稜柱

C.所有的幾何體的表面都能展成平面圖形

D.稜柱的各條棱都相等

高一數學知識點 總結

一)兩角和差公式 (寫的都要記)

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA ?

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

二)用以上公式可推出下列二倍角公式

tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2

(上面這個餘弦的很重要)

sin2A=2sinA_cosA

三)半形的只需記住這個:

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

四)用二倍角中的餘弦可推出降冪公式

(sinA)^2=(1-cos2A)/2

(cosA)^2=(1+cos2A)/2

五)用以上降冪公式可推出以下常用的化簡公式

1-cosA=sin^(A/2)_2

1-sinA=cos^(A/2)_2

高一數學知識點梳理

重點難點講解:

1.回歸分析:

就是對具有相關關系的兩個變數之間的關系形式進行測定,確定一個相關的數學表達式,以便進行估計預測的統計分析 方法 。根據回歸分析方法得出的數學表達式稱為回歸方程,它可能是直線,也可能是曲線。

2.線性回歸方程

設x與y是具有相關關系的兩個變數,且相應於n組觀測值的n個點(xi,yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近,則回歸直線的方程為。

其中。

3.線性相關性檢驗

線性相關性檢驗是一種假設檢驗,它給出了一個具體檢驗y與x之間線性相關與否的辦法。

①在課本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數)相應的相關系數臨界值r0.05。

②由公式,計算r的值。

③檢驗所得結果

如果|r|≤r0.05,可以認為y與x之間的線性相關關系不顯著,接受統計假設。

如果|r|>r0.05,可以認為y與x之間不具有線性相關關系的假設是不成立的,即y與x之間具有線性相關關系。

典型例題講解:

例1.從某班50名學生中隨機抽取10名,測得其數學考試成績與物理考試成績資料如表:序號12345678910數學成績54666876788285879094,物理成績61806286847685828896試建立該10名學生的物理成績對數學成績的線性回歸模型。

解:設數學成績為x,物理成績為,則可設所求線性回歸模型為,

計算,代入公式得∴所求線性回歸模型為=0.74x+22.28。

說明:將自變數x的值分別代入上述回歸模型中,即可得到相應的因變數的估計值,由回歸模型知:數學成績每增加1分,物理成績平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對自己班的數學、化學成績進行分析。

例2.假設關於某設備的使用年限x和所支出的維修費用y(萬元),有如下的統計資料:x23456y2.23.85.56.57.0

若由資料可知y對x成線性相關關系。試求:

(1)線性回歸方程;(2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少?

分析:本題為了降低難度,告訴了y與x間成線性相關關系,目的是訓練公式的使用。

解:(1)列表如下:i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536於是b=,。∴線性回歸方程為:=bx+a=1.23x+0.08。

(2)當x=10時,=1.23×10+0.08=12.38(萬元)即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。

說明:本題若沒有告訴我們y與x間是線性相關的,應首先進行相關性檢驗。如果本身兩個變數不具備線性相關關系,或者說它們之間相關關系不顯著時,即使求出回歸方程也是沒有意義的,而且其估計與預測也是不可信的。

例3.某省七年的國民生產總值及社會商品零售總額如下表所示:已知國民生產總值與社會商品的零售總額之間存在線性關系,請建立回歸模型。年份國民生產總值(億元)

社會商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計4333.012194.24

解:設國民生產總值為x,社會商品零售總額為y,設線性回歸模型為。

依上表計算有關數據後代入的表達式得:∴所求線性回歸模型為y=0.445957x+37.4148,表明國民生產總值每增加1億元,社會商品零售總額將平均增加4459.57萬元。

例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每年平均產量yt之間的關系有如下數據:年份(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x與y之間的相關系數,並檢驗是否線性相關;

(2)若線性相關,求蔬菜產量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程,並估計每單位面積施肥150kg時,每單位面積蔬菜的年平均產量。

分析:(1)使用樣本相關系數計算公式來完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應的相關系數臨界值r0.05比較,若r>r0.05,則線性相關,否則不線性相關。

解:(1)列出下表,並用科學計算器進行有關計算:.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885,.故蔬菜產量與施用氮肥量的相關系數:r=由於n=15,故自由度15-2=13。由相關系數檢驗的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關系數臨界值r0.05=0.514,則r>r0.05,從而說明蔬菜產量與氮肥量之間存在著線性相關關系。

(2)設所求的回歸直線方程為=bx+a,則∴回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。

當x=150時,y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。

說明:求解兩個變數的相關系數及它們的回歸直線方程的計算量較大,需要細心謹慎計算,如果會使用含統計的科學計算器,能簡單得到,這些量,也就無需有製表這一步,直接算出結果就行了。另外,利用計算機中有關應用程序也可以對這些數據進行處理。

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⑸ 高一數學必修4知識點總結

高一數學必修4知識點總結 1

第一章 三角函數

正角:按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角

2、角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

4、長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數的絕對值是

l. r

180

6、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3. 180

7、若扇形的圓心角為

為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl,

1

11

Slrr2.

22

8

、設是一個任意大小的角,它與原點的距離是rr的終邊上任意一點的坐標是x,y,則sin

0,

yxy

,cos,tanx0. rrx

9、三角函數在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,

第三象限正切為正,第四象限餘弦為正.

10、三角函數線:sin,cos,tan.

2222

11、角三角函數的基本關系:1sin2cos21sin1cos,cos1sin

2

sin

tancos

sin

sintancos,cos.

tan

12、函數的誘導公式:

1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank. 2sinsin,coscos,tantan. 3sinsin,coscos,tantan. 4sinsin,coscos,tantan.

口訣:函數名稱不變,符號看象限.

5sin

cos,cossin.6sincos,cossin. 2222

口訣:正弦與餘弦互換,符號看象限.

13、①的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數ysinx的圖象;再將函數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的

1

倍(縱坐標不變),得到函數ysinx的圖象;再將

函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數

ysinx的圖象.

②數ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的

1

倍(縱坐標不變),得到函數

ysinx的圖象;再將函數ysinx的圖象上所有點向左(右)平移

個單位長度,得到函數

ysinx的圖象;再將函數ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫

2

坐標不變),得到函數ysinx的圖象. 14、函數ysinx0,0的性質: ①振幅:;②周期:

2

;③頻率:f

1

;④相位:x;⑤初相:. 2

函數ysinx,當xx1時,取得最小值為ymin ;當xx2時,取得最大值為ymax,則

11

x2x1x1x2ymaxyminymaxymin

22,,2.

yASinx , A0 , 0 , T

2

15 周期問題

2

yACosx , A0 , 0 , T

yASinx, A0 , 0 , T

yACosx, A0 , 0 , T

yASinxb , A0 , 0 , b 0, T

2

2

yACosxb , A0 , 0 , b0 ,T

TyAcotx , A0 , 0 ,

yAtanx , A0 , 0 , T

yAcotx, A0 , 0 , T

yAtanx , A0 , 0 , T

3

第二章 平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量.數量:只有大小,沒有方向的量. 有向線段的三要素:起點、方向、長度. 零向量:長度為0的向量. 單位向量:長度等於1個單位的向量. 平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量:長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運算:

⑴三角形法則的特點:首尾相連. ⑵平行四邊形法則的特點:共起點.

C

⑶三角形不等式:ababab.

⑷運算性質:①交換律:abba;

abcabc②結合律:;③a00aa.

a

b

abCC

4

⑸坐標運算:設ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.

18、向量減法運算:

⑴三角形法則的特點:共起點,連終點,方向指向被減向量.

⑵坐標運算:設ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.

設、兩點的坐標分別為x1,y1,x2,y2,則x1x2,y1y2.

19、向量數乘運算:

⑴實數與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數乘,記作a. ①

aa;

②當0時,a的方向與a的方向相同;當0時,a的方向與a的方向相反;當0時,a0.

⑵運算律:①aa;②aaa;③abab.

⑶坐標運算:設ax,y,則ax,yx,y.

20、向量共線定理:向量aa0與b共線,當且僅當有唯一一個實數,使ba.

設ax1,y1,bx2,y2,其中b0,則當且僅當x1y2x2y10時,向量a、bb0共線.

21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a,有

且只有一對實數1、2,使a1e12e2.(不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的一組基底) 22、分點坐標公式:設點是線段12上的一點,1、2的坐標分別是x1,y1,x2,y2,當12時,

點的坐標是

x1x2y1y2

時,就為中點公式。)(當1 ,.

11

23、平面向量的數量積:

⑴ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數量積為0.

⑵性質:設a和b都是非零向量,則①abab0.②當a與b同向時,abab;當a與b反向

2

時,abab;aaaa或a.③abab.

2

⑶運算律:①abba;②ababab;③abcacbc.

⑷坐標運算:設兩個非零向量ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y2.

222

若ax,y,則axy,

或a設ax1,y1,則abxx12yy12bx2,y2,

0.

5

高一數學必修4知識點總結 2

第一章 三角函數

1.

正角:按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角。

按邊旋轉的方向分 零角:如果一條射線沒有作任何旋轉,我們稱它形成了一個零角。 角負角:按順時針方向旋轉形成的角叫做負角。

的 第一象限角{α|k2360°<α<90°+k2360°,k∈Z}

分 第二象限角{α|90°+k2360°<α<180°+k2360°,k∈Z} 類 第三象限角{α|180°+k2360°<α<270°+k2360°,k∈Z} 第四象限角{α|270°+k2360°<α<360°+k2360°,k∈Z} 或{α|-90°+k2360°<α<k2360°,k∈Z} (象間角):當角的終邊與坐標軸重合時叫軸上角,它不屬於任何一個象限. 2.終邊相同角的表示:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+ k2360°,k∈Z}即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整個周角的和。 3.幾種特殊位置的角:

⑴終邊在x軸上的非負半軸上的角:α= k2360°,k∈Z

⑵終邊在x軸上的非正半軸上的角:α=180°+ k2360°,k∈Z ⑶終邊在x軸上的角:α= k2180°,k∈Z

⑷終邊在y軸上的角:α=90°+ k2180°,k∈Z ⑸終邊在坐標軸上的角:α= k290°,k∈Z

⑹終邊在y=x上的角:α=45°+ k2180°,k∈Z

⑺終邊在y=-x上的角:α= -45°+ k2180°,k∈Z 或α=135°+ k2180°,k∈Z ⑻終邊在坐標軸或四象限角平分線上的角:α= k245°,k∈Z

4.弧度:在圓中,把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,用符號rad表示。 5.6.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那麼,角α 相關公式7.角度制與弧度制的換算 8.單位圓:在直角坐標系中,我們稱以原點O為圓心,以單位長度為半徑的圓為單位圓。

9.利用單位圓定義任意角的三角函數:設α是一個任意角,它的終邊與單位圓交於點P(x,y)那麼: ⑴y叫做α的正弦,記作sinα即⑵x叫做α的餘弦,記作cosα⑶

y叫做α的正切,記作tanαx22

10.sincos1 sin;cos

同角三角函數的基本關系 α≠kπ+

11.三角函數的誘導公式:

πnis(k∈Z)】:ant2cos

公sink2sin式cosk2cos一tank2tan【注】其中kZ

公sinsin公sinsin式cos

cos

式coscos

公sinsin式coscos四tantan

公sincos

2

公sinsco

2

式cossin式cosn si

22

五tancot

2

六tantco

2

注意:ysinx周期為2π;y|sinx|周期為π;y|sinxk|周期為2π;ysin|x|不是周期函數。

13.得到函數yAsin(x)圖像的方法:

y=sin(x+)ysin(x)y①y=sinx

周期變換

向左或向右平移||個單位

平移變換周期變換振幅變換

Asin(x)

②y=sinxysinxysin(x)yAsin(x) 14.簡諧運動

①解析式:yAsin(x),x[0,+) ②振幅:A就是這個簡諧運動的振幅。 ③周期:T④頻率:f=

振幅變換

1

T2π

⑤相位和初相:x稱為相位,x=0時的`相位稱為初相。

第二章 平面向量

1.向量:數學中,我們把既有大小,又有方向的量叫做向量。數量:我們把只有大小沒有方向的量稱為數量。 2.有向線段:帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段三要素:起點、方向、長度。

3.向量的長度(模):向量AB的大小,也就是向量AB的長度(或稱模),記作|AB|。

4.零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作0,零向量的方向是任意的。

單位向量:長度等於1個單位的向量,叫做單位向量。

5.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a、b是兩個平行向量,那麼通常記作a∥b。

平行向量也叫做共線向量。我們規定:零向量與任一向量平行,即對於任一向量a,都有0∥a。

6.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a、b是兩個相等向量,那麼通常記作a=b。

BC=b,b,7.如圖,已知非零向量a、在平面內任取一點A,作AB=a,則向量AC叫做a與b的和,記作ab,

即abABBCAC。

向量的加法:求兩個向量和的運算叫做向量的加法。這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法則。

8.對於零向量與任一向量a,我們規定:a+0=0+a=a

9.公式及運算定律:①A1A2+A2A3+...+AnA1=0②|a+b|≤|a|+|b|

(a+b)+ca(b+c)③a+bba ④

10.相反向量:①我們規定,與a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,記作-a。a和-a互為相反向

量。

②我們規定,零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)(=-a)+a=0。

④如果a、b是互為相反的向量,那麼a= -b,b= -a,ab=0。

⑤我們定義a-b=a+,即減去一個向量等於加上這個向量的相反向量。 (-b)

11.向量的數乘:一般地,我們規定實數λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘。記作a,它的

長度與方向規定如下:①|a||||a| ②當λ>0時,a的方向與a的方向相同;當λ<0時,的方向與a的

方向相反;λ=0時,a=0

(a)()a 12.運算定律:①

②()aaa

③(ab)=ab

()a(a)(a)(ab)=ab ④⑤

13.定理:對於向量a(a≠0)、b,如果有一個實數λ,使b=a,那麼a與b共線。相反,已知向量a與b

共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的μ倍,即|b|=μ|a|,那麼當a與b同方向時,有b=a;當a

與b反方向時,有b= a。則得如下定理:向量向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數λ,使b=a。

14.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a,有且

只有一對實數1、2,使a1e12e2。我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基

底。

15.向量a與b的夾角:已知兩個非零向量a和b。作OAa,OBb,則AOB(0°≤θ≤180°)叫

做向量a與b的夾角。當θ=0°時,a與b同向;當θ=180°時,a與b反向。如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作ab。

16.補充結論:已知向量a、b是兩個不共線的兩個向量,且m、n∈R,若manb0,則m=n=0。

17.正交分解:把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。

18.兩個向量和(差)的坐標分別等於這兩個向量相應坐標的和(差)。即若a(x1,y1),b(x2,y2),則

ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2)

19.實數與向量的積的坐標等於用這個實數乘原來向量的相應坐標。即若a(x1,y1),則a(x1,y1)

20.當且僅當x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線

x1x2y1y2

21.定比分點坐標公式:當P1PPP2時,P點坐標為(,)

11

①當點P在線段P1P2上時,點P叫線段P1P2的內分點,λ>0 ②當點P在線段P1P2的延長線上時,P叫線段P1P2的外分點,λ<-1; 當點P在線段P1P2的反向延長線上時,P叫線段P1P2的外分點,-1<λ<0. 22. 從一點引出三個向量,且三個向量的終點共線,

B

則OCOAOB,其中λ+μ=1

23.數量積(內積):已知兩個非零向量a與b,我們把數量|a||b|cos叫做a與b 的數量積(或內積),記作a2b即a2b=|a||b|cos。其中θ是a與b的夾角,

|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。我們規定,零向量與任一向量的數量

積為0。

24. a2b的幾何意義:數量積a2b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積。

25.數量積的運算定律:①a2b=b2a ②(λa)2b=λ(a2b)=a2(λb) ③(a+b)2c=a2c+b2c 22222222④(ab)a2abb ⑤(ab)a2abb ⑥(ab)(ab)ab

26.兩個向量的數量積等於它們對應坐標的乘積的和。即abx1x2y1y2。則:

22

2

①若a(x,y),則|a|xy,或|a|。如果表示向量a的有向線段的起點和中點的坐標分別為(x2x1,y2y1)

(x1,y1)(x2,y2)、,那麼a,|a|

(x1,y1)(x2,y2)②設a,b,則abx1x2y1y20ab0

(x1,y1)(x2,y2)27.設a、b都是非零向量,a,b,θ是a與b的夾角,根據向量數量積的定義及坐標表

ab

示可得:cos

|a||b|

第三章 三角恆等變換

cs1.兩角和的餘弦公式【簡記C(α+β)】:oos2.兩角差的餘弦公式【簡記C(α-β)】:c

csocsnisniso

coscosnisnis

3.兩角和(差)餘弦公式的公式特徵:①左加號,右減號。②同名函數之積的和與差。③α、β叫單角,α±β

叫復角,通過單角的正、餘弦求和(差)的餘弦值。④「正用」、「逆用」、「變用」

is4.兩角和的正弦公式【簡記S(α+β)】:nis5.兩角差的正弦公式【簡記S(α-β)】:n

isoscosnisnc

nisoscosnisc

6.兩角和(差)正弦公式的公式特徵及用途:①左右運算符號相同。②右方是異名函數之積的和與差,且正弦值

篇三:高中數學人教版必修四常見公式及知識點系統總結(全)

必修四常考公式及高頻考點

第一部分 三角函數與三角恆等變換

考點一 角的表示方法 1.終邊相同角的表示方法:

所有與角終邊相同的角,連同角在內可以構成一個集合:{β|β= k2360 °+α,k∈Z } 2.象限角的表示方法: 第一象限角的集合為{α第二象限角的集合為{α第三象限角的集合為{α第四象限角的集合為{α

| k2360 °<α<k2360 °+90 °,k∈Z }

| k2360 °+90 °<α<k2360 °+180 °,k∈Z } | k2360 °+180 °<α<k2360 °+270 °,k∈Z } | k2360 °+270 °<α<k2360 °+360 °,k∈Z }

3.終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上(如軸線角)的表示方法:

(1)若所求角β的終邊在某條射線上,其集合表示形式為{β|β= k2360 °+α,k∈Z },其中α為射線與x軸非負半軸形成的夾角

(2)若所求角β的終邊在某條直線上,其集合表示形式為{β|β= k2180 °+α,k∈Z },其中α為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角

(3)若所求角β的終邊在兩條垂直的直線上,其集合表示形式為{β|β= k290 °+α,k∈Z },其中α為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角 例:

終邊在y軸非正半軸上的角的集合為{α|α= k2360 °+270 °,k∈Z }

終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為{α|α= k2180 °+135 °,k∈Z } 終邊在四個象限角平分線上的角的集合為{α|α= k290 °+45 °,k∈Z } 易錯提醒:

區別銳角、小於90度的角、第一象限角、0~90、小於180度的角

考點二 弧度制有關概念與公式 1.弧度制與角度制互化

180,1

180

57.3,1弧度

180

2.扇形的弧長和面積公式(分別用角度制、弧度製表示方法)

nR

R, 其中為弧所對圓心角的弧度數 180

1nR21

lR2||, 其中為弧所對圓心角的弧度數 扇形面積公式:S

23602

弧長公式:l

12

易錯提醒:利用S= R||求解扇形面積公式時,為弧所對圓心角的弧度數,不可用角度數

2

規律總結:「扇形周長、面積、半徑、圓心角」4個量,「知二求二」,注意公式選取技巧

考點三 任意角的三角函數 1.任意角的三角函數定義

設是一個任意角,它的終邊與單位圓交於點Px,y,那麼siny,cosx,tan

y(r|OP|

rrx化簡為siny,cosx,tan2.三角函數值符號

y

. x

規律總結:利用三角函數定義或「一全正、二正弦、三正切、四餘弦」口訣記憶象限角或軸線角的三角函數值符號. 3.特殊角三角函數值

除此之外,還需記住150、750的正弦、餘弦、正切值 4.三角函數線

經典結論: (1)若x(0,(2)若x

(0,

2

),則sinxxtanx

),則1sinxcosx2

(3)|sinx||cosx|1

例:

11

在單位圓中分別畫出滿足sinα=cosα=、tanα=-1的角α的終邊,並求角α的取值集合

22考點四 三角函數圖像與性質

考點五 正弦型(y=Asin(ωx+φ))、餘弦型函數(y=Acos(ωx+φ))、正切性函數(y=Atan(ωx+φ))圖像與性質 1.解析式求法

(1)y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B解析式確定方法

A、B通過圖像易求,重點講解φ、ω求解思路: ①φ求解思路:

代入圖像的確定點的坐標.如帶入最高點(x1,y1)或最低點坐標(x

2,y2),則x1

2

2k(kZ)或

x2

3

2k(kZ),求值. 2

易錯提醒:y=Asin(ωx+φ),當ω>0,且x=0時的相位(ωx+φ=φ)稱為初相.如果不滿足ω>0,先利用誘導公式進行變形,使之滿足上述條件,再進行計算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60

②ω求解思路:

利用三角函數對稱性與周期性的關系,解ω.相鄰的對稱中心之間的距離是周期的一半;相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半;相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期的四分之一. 2.「一圖、兩域、四性」 「一圖」:學好三角函數,圖像是關鍵。

易錯提醒:「左加右減、上加下減」中「左加右減」僅僅針對自變數x,不可針對-x或2x等. 例:

「兩域」: (1) 定義域

求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式,常藉助三角函數線或三角函數圖象或數軸法來求解. (2) 值域(最值): a.直接法(有界法):利用sinx,cosx的值域.

b.化一法:化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據正弦函數單調性寫出函數的值域(最值). c.換元法:把sinx或cosx看作一個整體,化為求一元二次函數在給定區間上的值域(最值)問題. 例:

1.y=asinx+bsinx+c

2

2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d)

4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c 「四性」: (1)單調性

ππ

①函數y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)圖象的單調遞增區間由2kπ-ωx+φ<2kπ+,k∈Z解得, 單調遞減區間由

22π

2kπωx+φ<2 kπ+1.5π,k∈Z解得;

2

②函數y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)圖象的單調遞增區間由2kπ+π<ωx+φ<2kπ+2π,k∈Z解得, 單調遞減區間由2kπ<ωx+φ<2 kπ+π,k∈Z解得;

ππ

③函數y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)圖象的單調遞增區間由kπ-<ωx+φ<kπ+k∈Z解得,.

22規律總結:注意ω、A為負數時的處理技巧. (2)對稱性

π

①函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx+φ= kπ+(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;

②函數y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=kπ+(k∈Z) 解得;

2③函數y=Atan(ωx+φ)的圖象的對稱中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得. 規律總結:φ可以是單個角或多個角的代數式.無需區分ω、A符號. (3)奇偶性

π

①函數y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函數φ=kπ(k∈Z),函數y=Asin(ωx+φ),x∈R是偶函數φ=kπ2∈Z);

②函數y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函數φ=kπ∈Z);

③函數y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函數φ=(k∈Z).

2規律總結:φ可以是單個角或多個角的代數式.無需區分ω、A符號. (4)周期性

函數y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,

|ω|y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期T=

考點六 常見公式

常見公式要做到「三用」:正用、逆用、變形用 1.同角三角函數的基本關系

π. |ω|

π

∈Z);函數y=Acos(ωx+φ),x∈R是偶函數φ=kπ(k2

22

⑹ 高一數學人教版有幾個必修

必修四:第一章,三角函數:
1、了解任意的角的概念、弧度制,能進行弧度與角度的互化。
2、(1)藉助單位圓理解任意角三角函數(正弦、餘弦、正切)的定義。
(2)藉助單位圓中的三角函數線推導誘導公式(π/2±α,
π±α
的正弦、餘弦、正切
)能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx
的圖象,了解三角函數的周期性。
(3)理解同角三角函數的關系式:
sin2α+cos2α=1
tanα·cotα=1
(4)藉助圖象理解正弦函
數、餘弦函數在[
0,π],正切函數在
[—π/2,π/2]
上的性質(如單調性、最大值和最小
值、圖象與
x
軸交點等)。
(5)結合具體實例,了解y=asin(
ωx
+
φ
)的實際意義;能藉助計算器或計算機畫出的圖象,觀察a,ω,φ
對函數圖象變化的影響。
(6)會用三角函數解決一些實際問題,體會三角函數是描述周期變化的重要函數模型。
第二章
平面向量:
1、通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何表示。
2、(1)通過實例,掌握向量加、減法的運算,並理解其幾何意義;
(2)通過實例,掌握向量數乘的運算,並理解其幾何意義,以及兩個向量共線的含義。
(3)了解向量的線性運算性質及其幾何意義
4、(1)通過物理中「功」等實例,理解平面向量數量積的含義及其物理意義.
(2)體會平面向量數量
積與向量投影的關系.
(3)掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.
(4)能運用數量積表示兩個向量的夾角,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
(5)、經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題,體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,發展運算能力和解決實際問題的能力。
第三章
三角恆等變換:
1、經歷用向量的數量積推導出兩角差的餘弦公式的過程,進一步體會向量方法的作用。
2、能從兩角差餘弦公式導出兩角和與的正弦、餘弦、正切公式,二倍角的正弦、餘弦、正切公式,了解它們的內在聯系。
3、能正確運用上述公式進行簡單的恆等式變換(包括引出積化和差、和差化積、半形公式,但不要求記憶)。
重點公式:一)兩角和差公式
(寫的都要記)
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
二)用以上公式可推出下列二倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2
-1=1-2(sina)^2
(上面這個餘弦的很重要)
sin2a=2sina*cosa
三)半形的只需記住這個:
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
四)用二倍角中的餘弦可推出降冪公式
(sina)^2=(1-cos2a)/2
(cosa)^2=(1+cos2a)/2
五)用以上降冪公式可推出以下常用的化簡公式
1-cosa=sin^(a/2)*2
1-sina=cos^(a/2)*2
+
一)兩角和差公式
(寫的都要記)
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
二)用以上公式可推出下列二倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2
-1=1-2(sina)^2
(上面這個餘弦的很重要)
sin2a=2sina*cosa
三)半形的只需記住這個:
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
四)用二倍角中的餘弦可推出降冪公式
(sina)^2=(1-cos2a)/2
(cosa)^2=(1+cos2a)/2
五)用以上降冪公式可推出以下常用的化簡公式
1-cosa=sin^(a/2)*2
1-sina=cos^(a/2)*2

⑺ 高一數學必修四知識點梳理

要盡快適應高中學習,同學們必須在了解高中學習特點的基礎上,掌握科學的 學習 方法 。掌握科學的學習方法,應做到主動預習、正確聽課、有效復習。以下是我給大家整理的 高一數學 必修四知識點梳理,希望能幫助到你!

高一數學必修四知識點梳理1

【公式一】

設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

【公式二】

設α為任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

【公式三】

任意角α與-α的三角函數值之間的關系:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

【公式四】

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

【公式五】

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

【公式六】

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

高一數學必修四知識點梳理2

問題提出

1.函數是研究兩個變數之間的依存關系的一種數量形式.對於兩個變數,如果當一個變數的取值一定時,另一個變數的取值被惟一確定,則這兩個變數之間的關系就是一個函數關系.

2.在中學校園里,有這樣一種說法:「如果你的數學成績好,那麼你的物理學習就不會有什麼大問題.」按照這種說法,似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著某種關系,我們把數學成績和物理成績看成是兩個變數,那麼這兩個變數之間的關系是函數關系嗎?

3.我們不能通過一個人的數學成績是多少就准確地斷定其物理成績能達到多少,學習興趣、學習時間、教學水平等,也是影響物理成績的一些因素,但這兩個變數是有一定關系的,它們之間是一種不確定性的關系.類似於這樣的兩個變數之間的關系,有必要從理論上作些探討,如果能通過數學成績對物理成績進行合理估計,將有著非常重要的現實意義.

知識探究(一):變數之間的相關關系

思考1:考察下列問題中兩個變數之間的關系:

(1)商品銷售收入與 廣告 支出經費;

(2)糧食產量與施肥量;

(3)人體內的脂肪含量與年齡.

這些問題中兩個變數之間的關系是函數關系嗎?

思考2:「名師出高徒」可以解釋為教師的水平越高,學生的水平就越高,那麼學生的學業成績與教師的教學水平之間的關系是函數關系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變數之間的這種關系的 成語 嗎?

思考3:上述兩個變數之間的關系是一種非確定性關系,稱之為相關關系,那麼相關關系的含義如何?

自變數取值一定時,因變數的取值帶有一定隨機性的兩個變數之間的關系,叫做相關關系.

1、球的體積和球的半徑具有()

A函數關系B相關關系

C不確定關系D無任何關系

2、下列兩個變數之間的關系不是

函數關系的是()

A角的度數和正弦值

B速度一定時,距離和時間的關系

C正方體的棱長和體積

D日照時間和水稻的畝產量AD練:知識探究(二):散點圖

【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數據:

其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.

思考1:對某一個人來說,他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,但是如果把很多個體放在一起,就可能表現出一定的規律性.觀察上表中的數據,大體上看,隨著年齡的增加,人體脂肪含量怎樣變化?

思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關系,我們需要對數據進行分析,通過作圖可以對兩個變數之間的關系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角坐標系中描出樣本數據對應的圖形嗎?

思考3:上圖叫做散點圖,你能描述一下散點圖的含義嗎?

在平面直角坐標系中,表示具有相關關系的兩個變數的一組數據圖形,稱為散點圖.

思考4:觀察散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什麼相關關系?

思考5:在上面的散點圖中,這些點散布在從左下角到右上角的區域,對於兩個變數的這種相關關系,我們將它稱為正相關.一般地,如果兩個變數成正相關,那麼這兩個變數的變化趨勢如何?

思考6:如果兩個變數成負相關,從整體上看這兩個變數的變化趨勢如何?其散點圖有什麼特點?

一個變數隨另一個變數的變大而變小,散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域.

一般情況下兩個變數之間的相關關系成正相關或負相關,類似於函數的單調性.

知識探究(一):回歸直線

思考1:一組樣本數據的平均數是樣本數據的中心,那麼散點圖中樣本點的中心如何確定?它一定是散點圖中的點嗎?

思考2:在各種各樣的散點圖中,有些散點圖中的點是雜亂分布的,有些散點圖中的點的分布有一定的規律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數據的散點圖中的點的分布有什麼特點?

這些點大致分布在一條直線附近.

思考3:如果散點圖中的點的分布,從整體上看大致在一條直線附近,則稱這兩個變數之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關關系的兩個變數,其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎?

思考4:對一組具有線性相關關系的樣本數據,你認為其回歸直線是一條還是幾條?

思考5:在樣本數據的散點圖中,能否用直尺准確畫出回歸直線?藉助計算機怎樣畫出回歸直線?

知識探究(二):回歸方程

在直角坐標系中,任何一條直線都有相應的方程,回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關關系的樣本數據,如果能夠求出它的回歸方程,那麼我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關變數的內在聯系,並根據回歸方程對總體進行估計.

思考1:回歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系?

整體上最接近

思考2:對於求回歸直線方程,你有哪些想法?

思考4:為了從整體上反映n個樣本數據與回歸直線的接近程度,你認為選用哪個數量關系來刻畫比較合適?20.9%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫

之間的關系,隨機統計並製作了某6天

賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對照表:

如果某天的氣溫是-50C,你能根據這些

數據預測這天小賣部賣出熱茶的杯數嗎?

實例探究

為了了解熱茶銷量與

氣溫的大致關系,我們

以橫坐標x表示氣溫,

縱坐標y表示熱茶銷量,

建立直角坐標系.將表

中數據構成的6個數對

表示的點在坐標系內

標出,得到下圖。

你發現這些點有什麼規律?

今後我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).

建構數學

所以,我們用類似於估計平均數時的

思想,考慮離差的平方和

當x=-5時,熱茶銷量約為66杯

線性回歸方程:

一般地,設有n個觀察數據如下:當a,b使2.三點(3,10),(7,20),(11,24)的

線性回歸方程是()D11.69

二、求線性回歸方程

例2:觀察兩相關變數得如下表:

求兩變數間的回歸方程解1:列表:

閱讀課本P73例1

EXCEL作散點圖

利用線性回歸方程解題步驟:

1、先畫出所給數據對應的散點圖;

2、觀察散點,如果在一條直線附近,則說明所給量具有線性相關關系

3、根據公式求出線性回歸方程,並解決其他問題。

(1)如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值;(2)分別說明以上兩個模型是確定性

模型還是隨機模型.

模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+e.

解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18;

模型2:y=6+4x+e=6+4×3+1=19.C線性相關與線性回歸方程小結1、變數間相關關系的散點圖

2、如何利用「最小二乘法」思想求直線的回歸方程

3、學會用回歸思想考察現實生活中變數之間的相關關系

高一數學必修四知識點梳理3

定義:

形如y=x^a(a為常數)的函數,即以底數為自變數冪為因變數,指數為常量的函數稱為冪函數。

定義域和值域:

當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數,則函數的定義域為大於0的所有實數;如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小於0,這時函數的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等於0的所有實數。當x為不同的數值時,冪函數的值域的不同情況如下:在x大於0時,函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。而只有a為正數,0才進入函數的值域

性質:

對於a的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那麼我們就可以知道:

排除了為0與負數兩種可能,即對於x>0,則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能,即對於x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數;

排除了為負數這種可能,即對於x為大於且等於0的所有實數,a就不能是負數。

總結 起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實數,則函數的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小於0,這時函數的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數,則函數的定義域為不等於0的所有實數。

在x大於0時,函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時,則只有同時q為奇數,函數的值域為非零的實數。

而只有a為正數,0才進入函數的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

可以看到:

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

(2)當a大於0時,冪函數為單調遞增的,而a小於0時,冪函數為單調遞減函數。

(3)當a大於1時,冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時,冪函數圖形上凸。

(4)當a小於0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0,函數過(0,0);a小於0,函數不過(0,0)點。

(6)顯然冪函數_。


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